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第8章 *三、二重积分的换元法 第二节 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
一、利用直角坐标计算二重积分当被积函数f(x,y)≥0由曲顶柱体体积的计算可知y=Φ2(x)且在D上连续时若D为X-型区域Pi(x)≤≤@2()D :1a≤x≤bday-o(a)bx102(x)则f(x,y)dyJ, f(x, y)dxdy=dxPi(x)aaydy=V2()i(y)≤x≤y2(y)若D为Y-型区域Dc≤dx=CW2(y)则[], f(x,y)dxdy =]f(x,y)dxolx目录上页下页返回结束机动
一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 当被积函数 f ( x, y ) 0 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 D f (x, y) dx d y f x y y x x ( , ) d ( ) ( ) 2 1 = b a d x 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x o b x y D a x 若D为Y –型区域 c y d y x y D ( ) ( ) : 1 2 y ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y x d o c y f x y x y y ( , ) d ( ) ( ) 2 1 d c 则 d y
当被积函数f(x,J)在D上变号时,由于(x, y) = I(x,y) +If(x, y)f(x,y)- f(x,y)22fz(x,y) 均非负fi(x,y), f(x, y)dxd y= JJ, i(x, y)dxd y- JJ, J2(x, y)dxd y因此上面讨论的累次积分法仍然有效目录上页下页返回结束机动
当被积函数 f ( x, y ) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于
说明：（1）若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域则有JJ, f(x,y) dx dyy2(x)O192(x)x=W2(y)x=V(y)f(x,y)dydxDPi(x)LayPi(xW2(y）f(x,y)dxXbx0a1(y为计算方便，可选择积分序必要时还可以交换积分序(2）若积分域较复杂,可将它分成若干DDX-型域或Y-型域，则D3。= D, + D, + ,x目录上页返回结束机动下页
o x y 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , D f (x, y) dx d y 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x o x y D a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , ) d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , ) d ( ) ( ) 2 1 = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 , = + + D D1 D2 D3 则
例1.计算I=xydo,其中D是直线y=1,x=2,及所围的闭区域V=xl≤y≤x解法1.将D看作X-型区域则D1≤x≤22(=’ dx[xyd y=["[1xy2]dx9,[1x3 -1x ]dx =81 x2xRy≤x≤2解法2.将D看作Y-型区域，则DL1≤y≤29I=[rdyydx =[1x]dy=[,[2y-3 ]dy-8目录上页下页返回结束机动
x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 d y 例1. 计算 d , = D I x y 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2 y y d y 8 9 = y 1 x y 2 1 y x 1 x 2 y x 2 1 y 2