《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第7章 多元微积分学 第四节 多元复合函数的求导法则

第7章第四节多元复合函数的求导法则一元复合函数y=f(u),u=p(x)dydydu求导法则dxdudx微分法则dy=f'(u)du=f'(uo'(x)dx本节内容一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分下页返回

第7章 第四节 多元复合函数的求导法则 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则

多元复合函数求导的链式法则一、若函数u=(t),v=y(t)在点t可导,z=f(u,v)定理。在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f(p(t),(t)在点t可导，且有链式法则-%U证：设t取增量At，则相应中间变量有增量^u，v020zAv +o(p) (p = /(Au)~ +(△v)?)△u+AZ2Ovou目录上页下页返回结束机动

一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u, v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v 有增量△u , △v

Az0z △u, Oz Av, 0(p)(p = (Au)? +(Av)? )Atou At"ovAtAt令t→0,则有u→0,→0dudyAuAVu1dtdt△t△to(p)o(p)0△tNP"_"号)(At<0时,根式前加dz oz duoz dy（全导数公式）dt Ou dt'y dt目录上页下页返回结束机动

则 有 u → 0 , v → 0 , ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

偏导数连续减弱为若定理中f(u,v)在点（u,v)说明：偏导数存在则定理结论不一定成立?例如： z= f(u,v)=+v= 0u2u=t,v=tOzaz易知：|(0,0) = ,(0,0) =0%(0,0) = Ji(0,0) = 0,但复合函数z=f（t,t）Ozdudzdi主:0.1+0.1=02OudtOvdtdt目录上页下页返回结束机动

说明: 若定理中 例如: z = f (u , v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t ) 2 1 d d = t z  t v v z t u u z d d d d     +   = 0 1 + 0 1 = 0 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 2 2 2 2 2 +  + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 则定理结论不一定成立

推广：设下面所涉及的函数都可微例如,z= f(u,v,w)1）中间变量多于两个的情形u=@(t),V=(t),w=o(t)dz- Oz du Oz dvozdwdtou dt'Ov dtow dt= fi'o'+ f2y'+ f'o'2）中间变量是多元函数的情形.例如z=f(u,v), u=p(x,y), v=y(x,y)Oz0zOuOz Ov= fi'oi + f2yiouoxovOxOxOZOzOuOz Ov=fi02+f2y2OyQu OyOv Oy目录上页下页返回结束机动

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u , v, w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d =   +   +   1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u , v ) , u =  ( x, y ) , v =  ( x, y ) =   x z 1  1 2 1 = f   + f   1  2 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + u =  (t) , v =  (t) , w =  (t)