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•第7章 第六节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值
多元函数的极值一、定义:若函数 z= f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有f(x,y)≤f(xo,yo) (或 f(x,y)z f(xo,yo))则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点例如：z=3x2+42在点（0,0）有极小值在点（0,0）有极大值z= /x? +y?在点（0.0）无极值z=xV目录上页返回结束机动下页
x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z
定理1（必要条件）函数z=f(x,y）在点（xo,yo）存在且在该点取得极值，则有偏导数fi(xo, yo) = 0, J,(xo, yo) = 0证：因z=f(x,J)在点(xo,yo）取得极值,故z=f(x,yo）在x=xo取得极值z=f(xo,)在=yo取得极值据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立说明：使偏导数都为0的点称为驻点但驻点不一定是极值点例如，z=xy有驻点(0,0）,但在该点不取极值目录上页下页返回结束机动
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故
定理2(充分条件)若函数z= f(x,y)在点（xo,yo）的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且fx(xo,yo)= 0, f,(xo, yo)= 0令 A = fxx(xo, yo), B= fxy(xo,yo), C = fyy(xo,yo)A<0时取极大值则:1)当AC-B2≥0 时,具有极值A>0时取极小值2)当AC-B2<0 时,没有极值3)当 AC-B2=0 时,不能确定,需另行讨论证明见第九节(P65)目录上页下页返回结束机动
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P65) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f ( x, y ) 在 点 ( x0 , y0 ) 的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = x x = x y = y y 0 2 A C − B 0 2 A C − B 0 2 A C − B =