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第9章 第五节 函数幂级数展开式的应用 一、近似计算 二、欧拉公式
一、近似计算例1.计算 5/240的近似值，精确到10-4解: 5/240 =5/243-3 =3(1-±)( - 11.4.911.4.9.141.4+=33/63123853.3!52.2!354.4!1.4++(<0.5 ×10-4RK35/240 ~ 3(1- 1.)=3-0.007412.9926福5目录上页下页返回结束机动
一、近似计算 + x = + m x + m (1 ) 1 + − 2 2! ( 1) x m m + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) ( − 1 x 1 ) 例1. 计算 5 240 10 . −4 = 3 2 r 2 8 3 1 5 2! 1 4 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 + + + 4 1 6 3 1 5 4! 1 4 9 1 4 81 8 1 1 1 3 1 25 6 − = ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5 − 3 − 0.00741 2.9926 的近似值, 精确到 + + + 2 2 8 8 1 1 8 1 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10 − 3 1 = 4 3 1 5 1 − 2 8 3 1 5 2! 1 4 − − − 3 1 2 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243 − 3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = −
例2.计算 ln 2 的近似值,使准确到 10-4解：已知In(1+x)= x-(-1<x≤1)In(1- x) =-x -(-1≤x<1)2431 +x= In(1 + x) - In(1 - x)故In1-x(-1<x<1)1+x令=2得于是有x=31-xIn2=2目录上页下页返回结束机动
( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 − = − − − − − − x x x x x x 例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得 = + 3 + 5 + 7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 l n 2 2 , 3 1 x = 于是有
在上述展开式中取前四项11(1++()2<0.2×10-478732+3$+73)ln2~:0.6931+1A目录上页下页返回结束机动
4 9 3 1 9 1 2 r = 1 1 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − = + + + 3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 l n 2 2 0.6931 11 3 1 11 1 + + 13 + 3 1 13 1 9 4 3 1 = 4 0.2 1 0 78732 1 − = 在上述展开式中取前四项
说明：在展开式1+xln1-x1中令 x=n为自然数），得2n+1n+ln2n+n: In(n + I) = lnn +22n+1具此递推公式可求出任意正整数的对数，如+)+)s=1.6094ln5=2ln2+2目录上页下页返回结束机动
说明: 在展开式 中,令 2 1 1 + = n x + + + + + + = + 3 ) 5 2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 2 1 l n n n n n n 得 ln(n + 1) 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如 = + + 3 + ) 5 + 9 1 ( 5 1 ) 9 1 ( 3 1 9 1 l n 5 2 l n 2 2 1.6094 ( n为自然数) , + + + + + + = + 3 ) 5 2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 l n 2 n n n n = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x