《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章 曲线积分与曲面积分 11-3 格林公式及其应用

2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图 )dxdy =2( ）dxdy k=1 Dk -2on Pdx+Qdy(Dk表示D的正向边界) k-I =∫，Pdx+Ody 证毕

L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2   1 d d k n k D Q P x y  x y         d d D Q P x y x y           n k Dk P x Q y 1 d d    L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk  证毕 y O x

格林公式 器y=N+o 推论：正向闭曲线L所围区域D的面积 A-fxdy-ydx (0≤0≤2π)所围面积 A=fixdy-ydx (abcos20+absin20d=ab

推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积    L A xdy y dx 2 1 格林公式 d d d d L D Q P x y P x Q y x y                例如, 椭圆 (0 2π) sin cos :           y b x a L 所围面积    2π 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab  ab    π ab

例1.设L是一条分段光滑的闭曲线，证明 f 2xydx+x2dy=0 证：令P=2xy,Q=x2,则 80_P=2x-2x=0 Ox Oy 利用格林公式，得 f2xydx+xdy=odxdy=0

例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2    xy x x y L 证: 令 2 , , 2 P  xy Q  x 则 利用格林公式 , 得 xy x x y L 2 d d 2     D 0dx dy  0

例2.计算 ∬edxd,其中D是以O0,0),4A1,1). D B(0,1)为顶点的三角形闭域. 解：令P=0,O=xey,则 B(0,1) A(1,1) 80 Op -cy V=x 利用格林公式，有 edxdyxed -foixe>dy-Joye dy =l-e）

例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, e y P Q x    利用格林公式 , 有    D y x e dy 2 x y OA y e d 2    y y y e d 1 0 2    (1 e ) 2 1 1   y  x y x A(1,1) B(0,1) D O