《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-5 二次型及其标准形

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHXiaa12ayrX2a22a21a2n= (x1,x2,,x.)·an2amnXn)anxiay1112ainX2a2122a2n记A=X：anlaan2nn则二次型可记作f = xTAx,其中A为对称矩阵上页这回下页

则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               =               = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A         记 ( )                             = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x          2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , ,

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、一次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，一次型与对称矩阵之间存在一一一对应的关系对称矩阵A叫做二次型f的矩阵f叫做对称矩阵A的一次型对称矩阵A的秩叫做一次型f的秩2国下质

三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例1写出二次型f = x + 2x2 -3x3 + 4xx, -6x2x3的矩阵解 α =1, a22 =2, as3 = -3,a12 = a21 = 2, α3 = a31 = 0,23 = A32 = -3.(120A=2 2 -30-3-3上页下页友回

解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0   − −  A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH四、化一次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形X = Ciyi + Ci2y2 +..: + Cinyn'设X2 = C21Ji + C22J2 +:.: + C2nyn'Xn = CniJi + Cn2J2 +::+ Cnnyr记C =（ci),则上述可逆线性变换可记作x = Cy上页回下页

       = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy