江画工太猩院 二、微分方程的定义 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例y′=x,y"+2y-3y=e, (+x)t+y,m++y, 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式
江西理工大学理学院 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y′ = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y′′ + y′ − y = e x y, x z = + ∂ ∂ 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义
江画工太猩院 分类1:常微分方程,偏微分方程 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之 分类2: 阶微分方程F(x,y,y)=0,y=f(x,y) 高阶()微分方程F(x,y,y,…,ym)=0, yo=∫(x,y,y,…,yn
江西理工大学理学院 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y′) = 0, y′ = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) ′ = n F x y y L y ( , , , , ). ( ) ( −1) = ′ n n y f x y y L y 分类2:
江画工太猩院 分类3:线性与非线性微分方程 y+P(x)=o(x), x(y)-2yy'+x=0; 分类4:单个微分方程与微分方程组 =3y-2, =2y-
江西理工大学理学院 分类3: 线性与非线性微分方程. y′ + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y′ − yy′ + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组. ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dxdy
江画工太猩院 主要问题—求方程的解 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 设y=q(x)在区间I上有n阶导数, F(x,p(x),p(x,,p"(x)=0. 微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
江西理工大学理学院 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 设y = ϕ(x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x ϕ x ϕ′ x ϕ x = L n 微分方程的解的分类： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
江画工太猩院 例y=y,通解y=e; y"+y=0,通解y=C1sinx+C2cosx; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件
江西理工大学理学院 (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y′ = y , ; x 通解 y = Ce y′′ + y = 0 , sin cos ; 1 2 通解 y = C x + C x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件