《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章_11-3格林公式

器- =0g,0wd-∫0g,0w) =∫ae(x,J4-厂e0(x,Jd -J+d A =∮ex,J x=420) 0 同理可正器=5严x临

D Q dxdy x   2 1 ( ( ), ) ( ( ), ) d d c c   Q y y dy Q y y dy     ( , ) ( , ) CBE CAE   Q x y dy Q x y dy   ( , ) ( , ) CBE EAC   Q x y dy Q x y dy   ( , ) L  Q x y dy  同理可证 ( , ) L D P dxdy P x y dx y       y x od 2 x y  ( ) D c CE 1 x y  ( ) B A 2 1 ( ) ( ) d y c y Q dy dx x      

两式相加得 小架h-+ (2)若区域D由按段光 D 滑的闭曲线围成如图， 将D分成三个既是X-型又是 Y-型的区域DD2D3 小架器-儿是等a D1+D2+D3

L D (2)若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, L1 L3 L2 D1 D2 D3 两式相加得 ( ) L D Q P dxdy Pdx Qdy x y          1 2 3 ( ) ( ) D D D D Q P Q P dxdy dxdy x y x y                1 2 3 D X Y D D D   将 分成三个既是 型又是 型的区域 、

=∮P肱+Q+∮，P本+Q+∮P肱+O购 =∮Pt+Q (LL2,L对D来说为正方向)

1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D Q P Q P Q P dxdy dxdy dxdy x y x y x y                     L L L 1 2 3       Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy    L   Pdx Qdy  1, 2 3 ( , ) L L L D 对 来说为正方向 L L1 L2 L3 D D1 D2 D3

(3)若区域不止一条闭曲线围成， G 3 添加直线段AB,CE.则D的边界 E 曲线由AB,L2,BA,AFC,CE,L3,EC 及CGA构成 C F e斑r兴-Swa =可++∫4+m+etec+jcP+ =(⑨+∮+∮P肱+Q =∮Pt+ (LL2,L对D来说为正方向)

GD L 3 L 2 F C E L1 A B 由(2) 知 ( ) D Q P dxdy x y       2 3 { }( ) AB L BA AFC CE L EC CGA          Pdx Qdy         L   Pdx Qdy  2 3 1 ( )( ) LLL     Pdx Qdy  1, 2 3 ( , ) L L L D 对 来说为正方向 (3)若区域不止一条闭曲线围成， 添加直线段AB ,CE . 则 D的边界 曲线由AB , L 2 ,BA ,AFC,CE , L 3 ,EC 及CGA构成

4、简单应用 叮器器a-.体+Q财 (1).简化曲线积分 例1计算1=∮e'dc+(g3+xe-2y), 其中L为圆周x2+y2=2x的正向. 解P=e',2=y3+xe'-2y =e,00-ye ay Ox 80 OP ax ay 2=y 由格林公式有I=八yd=0

解 , y P  e Q xy xe y y 2 3    , y e y P    y y e x Q     3 3 y y P x Q       由格林公式有 ( ) L D Q P dxdy Pdx Qdy x y          3 d d D I y x y    2 . 1 例1 3 d ( 2 )d , y y L I e x xy xe y y     计算  其中L为圆周 x y 2x 2 2   的正向. O x y 0 (1). 简化曲线积分 4、简单应用