星siny+e*-xy-l=0在点(0.0)某邻域例1.验证方程可确定一个单值可导隐函数y=f(x）,并求d?ydydx|x=0' dx2|x=0解: 令F(x,y)=sin y+e×-xy-l, 则① F,= e*- y, F, = cos y- x 连续,②F(0,0)=0,F,(0,0)=1 ± 0由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数y=f(x），且目录上页下页返回结束机动
例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 0 d d , d 0 d 2 2 = x x = y x x y 解: 令 F ( x, y) = sin y + e − x y − 1, x F (0,0) = 0 , F e y, x x = − 连续 , 由 定理1 可知, (0,0) = 1 Fy 0 ① 导的隐函数 则 F y x y = cos − ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 并求
dyex-y利=-1Fx=dx|x=0cosy-x x=O,y=0dydx2|x = 0dx cos y-x x=0, y=0, y'=-1(ex -y)(cos y- x) -(ex-y)(-sin y·y'-1)x=0(cos y- x)2y=0y'=-l目录上页下页返回结束机动
d 0 d x x = y = 0 = − F x F y x = − c o s y − x e y x − x = 0, y = 0 d 0 d 2 2 x x = y ) cos ( d d y x e y x x − − = − 2 ( cos ) y − x = − = −3 1 0 0 = − = = y y x ( e y ) x − (cos y − x) (e y) x − − (− sin y y − 1)
导数的另一求法一利用隐函数求导sin y+e*-xy-l= O, y= y(x)x=0两边对x求导一1cosy·y'+e-y-xy'=ocosy-x(O,O)两边再对x求导=-1-sin y.(y')"+cosyy"+e"-y'-y'-xy"=0令x=0,注意此时 =0，y'=-ldydx2|x=0 =-3目录上页下页返回结束机动
= 0 x y 3 0 d d 2 2 = − x x = y sin y e x y 1 0, y y( x) x + − − = = 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 − sin y ( y ) + cos y y 2 令 x = 0 , 注意此时 y = 0 , y = −1 cos y x (0,0) e y x − − = − 导数的另一求法 — 利用隐函数求导
定理2.若函数F(x,J,z)满足①在点 P(xo,yo,zo)的某邻域内具有连续偏导数②F(xo, o,20)=0③ F,(xo, yo,20)± 0则方程F(x,y,z)=0在点(xo,yo)某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数z=f(x，y)，满足zo=f(xo，yo）并有连续偏导数HozFxdzaxF.Fdy定理证明从略，仅就求导公式推导如下目录上页下页返回结束机动
定理2 . 若函数 F ( x, y, z) z y z x F F y z F F x z = − = − , 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ( , , ) 0 0 0 0 F x y z = ( , , ) 0 0 0 0 F x y z z ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确
设z=f(x,J)是方程F(x,)=0所确定的隐函数,则F(x,y,f(x,y))=0两边对x求偏导azFx+ F.ax在(xo,Jo,zo)的某邻域内F, ≠0O2F-Eax02同样可得Eay目录上页下页返回结束机动
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0 两边对 x 求偏导 Fx z x F F x z = − z y F F y z = − 同样可得 则 + Fz x z 0