例4 判别下列级数的敛散性： (1) n+3 2n-ni (2) 1+ n=l a》2- (4) n=1 n+3 解：(1)因为1im2n-n=lim n3+3n21 n→o 1 n-→0 2n3-n2’ n 所以级数 n+3 收敛 n=1 n 台2n3-n 1 (2)因为 limn,” lim n =1,又级数发散， n→0 n→0 n=1 n n 2009年7月27日星期一 11 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 11 目录 上页 下页 返回 例 4 判别下列级数的敛散性： （ 1 ） 3 1 3 n 2 n n n ∞ = + − ∑ ； （ 2 ） 1 1 1 1 n n n ∞ + = ∑ ； （ 3 ） 1 1 1 ln 1 n n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∑ ； （ 4 ） 2 1 e n n n ∞ − = ∑ ． 解： （ 1）因为 3 2 3 3 2 3 2 3 1 lim lim n n 1 2 2 n n n n n n n n →∞ →∞ + − + = = − ， 而 2 1 1 n n ∞ = ∑ 收敛，所以级数 3 1 3 n 2 n n n ∞ = + − ∑ 收敛． （ 2）因为 1 1 1 1 lim lim 1 1 n n n n n n n + → ∞ → ∞ = = ，又级数 1 1 n n ∞ = ∑ 发散
所以级数 2 发散 1+ n 1 3)因为m中nJ In 1 =lim- =1, n-→0 1 n n2 而级数 收敛 n=1 2 数所以战录三n+ (4)因为 n->0 -=0，币效数立 n lim 1 收敛， n2 所以级数∑ne"收敛. n=l 2009年7月27日星期一 12 目录 (上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 12 目录 上页 下页 返回 所以级数 1 1 1 1 n n n ∞ + = ∑ 发散． （ 3）因为 3 2 11 1 ln 1 ln 1 lim lim 1 n n 1 1 n n n n n →∞ →∞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ + + ⎝⎠ ⎝⎠ = = ， 而级数 3 1 2 1 n n ∞ = ∑ 收敛，所以级数 1 1 1 ln 1 n n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∑ 收敛． （ 4）因为 2 4 2 e lim lim 0 1 e n n n n n n n − →∞ →∞ = = ，而级数 2 1 1 n n ∞ = ∑ 收敛， 所以级数 2 1 e n n n ∞ − = ∑ 收敛．