(1-8)yn≤4n≤(1+&)vn (n>N) 0 00 (1)当0<1<∞时，取8<L,由定理2可知 ∑4n与∑n 同时收敛或同时发散； n=l n=l (2)当l=0时，利用un<(1+)yn(n>N),由定理2知 0 0 若∑yn收敛，则∑山n也收敛； 吉=陈府在NeZ当N时1，仰 n=l n=l un >Un 00 由定理2可知，若∑'n发散，则∑4n也发散。 n=] n=l 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 nn n − ε ≤ ≤ + ε )()( vluvl 取 ε < l,由定理 2 可知 ∑ 与 ∞ n = 1 n u ∑ ∞ n = 1 n v )( 同时收敛或同时发散 ; n > N nvlu N),()( 利用 n < + ε n > (3) 当l = ∞时 , , + 存在 ∈ ZN 当 > Nn 时, > ,1 n n v u nn 即 u > v 由定理 2可知, 若 ∑ ∞ n = 1 n v 发散 , ; 1 则 ∑ 也收敛 ∞ n = n u 由定理2 知 ∑ (1) 当0 < l <∞时 , (2) 当l = 0 时 , ∞ n = 1 n 若 v 收敛 , . 1 则 ∑ 也发散 ∞ n = u n
例1证明级数 1 是收敛的. 3”+1 1 3”+1 是收敛的. 例2判别级数1 (a>0)的收敛性. 台1+an 解：(1)当0<a<1时， 11 lim- =1≠0， n-o1+a”1+0 所以 发散 2009年7月27日星期一 7 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 例 1 证明级数 1 1 3 1 n n ∞ = + ∑ 是收敛的． 解： 1 1 3 13 n n ≤ + 且 1 1 3 n n ∞ = ∑ 收敛 1 1 3 1 n n ∞ = + ∑ 是收敛的． 例 2 判别级数 1 1 ( 0) 1 n n a a ∞ = > + ∑ 的收敛性． 解： （ 1）当0 1 < a < 时， 1 1 lim 1 0 1 10 n n→∞ a = = ≠ + + ， 所以 1 1 1 n n a ∞ = + ∑ 发散．
(2)当a=1时， 11 所以了1 1+a2*0, lim 发散 台1+a” (3)当a>1时， 由于级数 日收敛，所以级颜正 1+a 收敛。 综上所述，当0<a≤1时，原级数发散，当a>1时， 原级数收敛. 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 1 1 lim 0 1 2 n n→∞ a = ≠ + ， （ 2）当 a = 1时， 所以 1 1 1 n n a ∞ = + ∑ 发散． （ 3）当 a > 1时， 1 1 1 n n a a ⎛ ⎞ < ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 由于级数 1 1 n n a ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 收敛，所以级数 1 1 1 n n a ∞ = + ∑ 收敛． 综上所述，当0 1 < a ≤ 时，原级数发散，当 a > 1 时， 原级数收敛．
例3讨论D级数1+1 的敛散性. 解：1)若p≤1，因为对一切n∈Z+, 1 n 而调和级数∑。发散，由比较审敛法可知p级数 00 1 n=1h 发散. 2009年7月27日星期一 9 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 pp p +++++ "" n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解 : 1) 若 p ≤ ,1 因为对一切 , + ∈ Zn 而调和级数 ∑ ∞ = 1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数∑ ∞ = 1 1 n p n n 1 ≥ 发散 . 发散 , p n 1 例 3 讨论 p 级数
2)若p>1,因为当n-1≤x≤n时， 1 、1 故 scd-点 . 1 +]1aw ,1 故强级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛， 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 p > ,1 因为当 n − 1 ≤ x ≤ n , 11 pp n x ≤ 故 ∫ − = n p n p x nn 1 d 11 ∫ − ≤ n n p x x 1 d 1 ⎥⎦ ⎤ − − ⎢⎣ ⎡ − = −− 11 1 )1( 1 1 1 pp p n n 考虑强级数 ⎥⎦ ⎤ − − ⎢⎣ ⎡ −− ∞ = ∑ 11 2 1 )1( 1 pp n nn 的部分和 σ n ⎥⎦ ⎤ + − ⎢⎣ ⎡ = − − = ∑ 1 1 1 )1( 11 p p n k kk n → ∞ 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时 , 1 )1( 1 1 − + −= p n ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −++⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 −− 11 − 1 − 1 )1( 11 3 1 2 1 2 1 1 p pp p p nn " 1 2) 若