第七节无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小代换三、小结 思考题
第七节 无穷小的比较 • 一、无穷小的比较 • 二、等价无穷小代换 • 三、小结 思考题
一、无穷小的比较例如，当x →0时,x,x2,sin x,x2 sin=都是无穷小xlim= 0,x比3x要快得多；观察各极限3xx→0sin xsinx与x大致相同：limx-→0x2sinx一x0lim lim sin一不可比不存在.型x→0X→0x0“快慢”极限不同，反映了趋向于零的程度不同
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 0 x x x sin lim 0 2 2 0 1 sin lim x x x x . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. 0, 1, x x 1 lim sin 0 不存在. 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0
定义：设α,β是同一过程中的两个无穷小,且α≠0.β=0，就说β是比α高阶的无穷小，(1) 如果 limα记作β=0(α);β(2) 如果 lim=80，就说β是比α低阶的无穷小。αβ(3) 如果 lim=C±0,就说β与α是同阶的无穷小：αB=1,则称β与α是等价的无穷小;特殊地，如果limα记作α~β;
(1) l ) im 0 , o( 如果 ，就说 是比 高阶的无 记 穷小 作 ； 定义: 设 , , 0. 是同一过程中的两个无穷小 且 (3) lim 0, C ; 如果 就说 与 是同阶的无穷小 lim 1, ; ~ ; 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 记作 (2) lim 如果 ，就说 是比 低阶的无穷小．
β(4) 如果 lim=C±0,k>0,就说β是α的k阶的Qt无穷小。例如：lim= 0,即 x2 = 0(3x)(x → 0)3xx-→0当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小；sinxlim1,即sinx~x(x→0)x-→0x当x→0时，sinx与x是等价无穷小
(4) lim 0 0, . , k C k k 如果 就说 是 阶的 无穷小 的 2 0 lim 0 x 3 x x ， 0 sin lim 1 x x x ， 2 当 x x x 0 3 ; 时， 是比 高阶的无穷小 当 x x x 0 sin 时， 与 是等价无穷小． 例如:
例1 证明：当x→0时,tanx－sinx为x的三阶无穷小tanx -sinx解.·limtsx-01sin x1-cosxlim一2x-0xcos x1sinx-cosx1= limlimlim2x-→0x-0x-→ocosxx.tanx一sinx为x的三阶无穷小
例 1 证 明:当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小. 解 3 0 tan sin limx x x x ) sin 1 cos cos1 lim( 2 0 x x x x x x , 21 tan x sin x为x的三阶无穷小.2 0 0 0 1 cos lim sin lim cos1 lim x x x x x x x x