第九节连续函数的运算与初等函数的连续性四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结
第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 • 一、四则运算的连续性 • 二、反函数与复合函数的连续性 • 三、初等函数的连续性 • 四、小结
四则运算的连续性定理1若函数f(x)，g(x)在点x,处连续f(x)则 f(x)±g(x), f(x)·g(x),(g(x.)± 0)g(x)在点x处也连续例如，sin x,cosx在(-oo,+o)内连续故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续
一、四则运算的连续性 0 0 0 ( ), ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ( ) 0) 1 ( ) . f x g x x f x f x g x f x g x g x g x x 若函数 在点 处连续 则 在点 定 处也连续 理 例如, sin x,cos x在(− ,+ )内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续
二、反函数与复合函数的连续性如果函数y=f(x)在区间上单调增加（或定理27单调减少）且连续，那么它的反函数x=f-（y)也在对应的区间上1单调增加（或单调减少）且连续元元例如, y=sinx 在[-号量止单调增加且连续,故y=arcsinx在[-1,1]上也是单调增加且连续同理y=arccosx在[-1,1]上单调减少且连续；y=arctanx,y=arccotx在[-oo,+ool上单调且连续反三角函数在其定义域内皆连续
二、反函数与复合函数的连续性 例如, sin [ , ] , 2 2 y x = − 在 上单调增加且连续 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. y f x = ( ) 1 x f y( ) − = x 定理2 如果函数 在区间 I 上单调增加（或 单调减少）且连续，那么它的反函数 也在 对应的区间上 单调增加（或单调减少）且连续. y I 同 理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续
定理3设函数y= f[g(x)由函数u= g(x)与函数y= f(u)复合而成,U(x)cDfo若 lim g(x)= uo，而函数y=f(u)X→Xo在点u=u,处连续,则lim f[g(x)] = lim f(u) = f[u l.u-→lox→xo证f(u)在点u=u,连续>0,n>0,使当u-u<n时恒有f(u)-f(u)<ε成立
定理3 0 0 0 0 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) lim ( ) ( ) , lim [ ( )] lim ( ) [ ]. f g x x x x u u y f g x u g x y f u U x D g x u y f u u u f g x f u f u → → → = = = = = = = = 设函数 由函数 与函数 复合而成， ( ) .若 ，而函数 在点 处连续 则 证 0 f u u u ( ) , 在点 = 连续 0 0 0, 0, , ( ) ( ) . u u f u f u − − 使当 时 恒有 成立
又:: lim g(x) = uox-→xo对于>0,>0,使当0<x-x<时恒有|g(x)-uo|=|u-uo|<n成立.将上两步合起来：>0,8>0,使当0x-x8时f(u)-f(u)=f[g(x))-f(u)/<成立:. lim f[g(x)]= lim f(u) = f(u) = f[lim g(x)]X-→Xou-→uox→xo
0 0 恒有 g x u u u ( ) . − = − 成立 将上两步合起来: 0, 0, 0 , 使当 x − x0 时 0 0 f u f u f g x f u ( ) ( ) [ ( )] ( ) − = − 成立. 0 0 0 lim [ ( )] lim ( ) ( ) x x u u f g x f u f u → → = = 0 [lim ( )]. x x f g x → = 0 0 lim ( ) , x x g x u → 又 = 0, 0, 0 , 对于 使当 x − x0 时