第一章函数与极限极限的四则运算法则定理3如果limf(x)= A,limg(x)= B,则有(1)lim[f(x)±g(x)l = limf (x)± limg (x) =田 (2) lim[f(x) ·g(x)] = limf (x)· limg (x)=吕口f(x)limf (x)(3）若又有B≠0,则limlimf (x)口g(x)注(1）和(2)的结论均可推广到有限多项的情形例如：lim[f(x) + g(x) - h(x)l = lim f (x) + limg (x) - lim h(x)lim[f(x) ·g(x) - h(x)) = limf (x) · limg (x) · limh(x)第五节极限运算法则
第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 二、极限的四则运算法则 定理3 则有 = ᵼ± ᵼ. = ᵼ⋅ ᵼ. （3）若又有B ≠ 0, = ᵼ ᵼ . 注 (1)和(2)的结论均可推广到有限多项的情形. 例如:
第一章函数与极限证：现在给出定理3的证明(1)即证lim[f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x) limf (x) = A, limg(x) = B,：f(x)=A+α，g(x)=B+β，其中α，β为无穷小于是f(x)±g(x)=(A+α)±(B+β)=(A±B)+(α±β)又：α±β是无穷小，得证: lim[f(x)±g(x)) = A± B = limf (x) ±limg(x).第五节极限运算法则
第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 证 现在给出定理3的证明. 于是 其中α , β为无穷小. 又 ∵ α±β是无穷小, 得证
第一章函数与极限证（2）即证lim[f(x)·g(x))=limf(x)·limg(x).: limf (x) = A, limg(x) = B,：f(x)=A+α,g(x)=B+β,其中αβ为无穷小00于是=为无穷小又:limAβ=olimBα=O,limαβ=0想想为什么？:. lim(Aβ + Bα +αβ) = 0,得证. lim[f(x) ·g(x)) = A ·B= lim f (x) · limg(x).极限存在必有界有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小两个无穷小的乘积仍为无穷小第五节极限运算法则
第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 证 得证. 想想为什么？ 于是 其中α,β为无穷小. ᵼ(ᵼ) ⋅ᵼ(ᵼ) = (ᵼ+ ᵼ) ⋅ (ᵼ+ ᵼ) = ᵼᵼ+ (ᵼ+ ᵼ+ ᵼᵼ). 又 为无穷小 • 极限存在必有界 • 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 • 两个无穷小的乘积仍为无穷小