工程硕士研究生教材 工程数学 （上册) (数值分析与矩阵论) 同济大学应用数学系编著 同济大学出版社
工程硕士研究生教材 〈上册) (数值分析与矩阵论) 同济大学应用数学系编著 同济大学出版社
前 言 培养工程硕士研究生是为适应我国经济建设中对应用型、复合型高层次工程技 术和工程管理人才的需要所采取的一项重要举措.“工程数学”课程是工程硕土研究 生培养中一门重要的基础课，它适应不同专业、不同学习内容的要求，以及在较少的 学时内掌握其所学专业必须具备的数学基础这一实际情况，编写一本可以根据各专 业实际情况进行教学的教材是十分必要的. 我们自1998年开始为工程硕士研究生讲授工程数学课程，针对实际情况编写了 《工程数学》讲义，该讲义已经在工程硕士研究生工程数学课程的教学中多次使用 根据近四年的使用情况，我们对原讲义进行了修改，形成了这本《工程数学》教材. 《工程数学》全书分上、下两册，上册由数值分析和矩阵论两部分组成；下册由数 理统计和随机过程两部分组成， 本书为上册，数值分析部分内容由解线性代数方程组的直接法和迭代法、矩阵 特征值和特征向量的计算、非线性方程的数值解法、插值与逼近、数值积分、常微分方 程初值问题的数值解法等基本内容组成.矩阵部分内容由矩阵基础知识、线性空间与 内积空间、线性变换、矩阵的标准型、矩阵函数、广义逆等基本内容组成.书中内容力 求精简，系统性强，循序渐进，易于教学 数值分析部分的第1章至第4章由黄自萍编写，第5章至第8章由沈剑华编写， 吴雄华完成了矩阵论部分的编写。 本书在出版过程中，得到同济大学应用数学系领导和教师的大力支持，同济大学 研究生院给予大力帮助，特此表示感谢， 由于编者水平有限，错误和不妥之处在所难免，恳请读者指正， 编者 2002年1月于同济大学
培养工程硕士研究生是为适应我国经济建设中对应用型、复合型高层次工程技 术和工程管理人才的需要所采取的一项重要举措."工程数学"课程是工程硕士研究 生培养中一门重要的基础课，它适应不同专业、不同学习内容的要求，以及在较少的 学时内掌握其所学专业必须具备的数学基础这一实际情况，编写一本可以根据各专 业实际情况进行教学的教材是十分必要的. 我们自 1 9 8年开始为工程硕士研究生讲授工程数学课程，针对实际情况编写了 《工程数学》讲义，该讲义已经在工程硕士研究生工程数学课程的教学中多次使用. 根据近四年的使用情况，我们对原讲义进行了修改，形成了这本《工程数学》教材. 《工程数学》全书分上、下两册，上册由数值分析和矩阵论两部分组成;下册由数 理统计和随机过程两部分组成. 本书为上册.数值分析部分内容由解线性代数方程组的直接法和迭代法、矩阵 特征值和特征向量的计算、非线性方程的数值解法、插值与逼近、数值积分、常微分方 程初值问题的数值解法等基本内容组成.矩阵部分内容由矩阵基础知识、线性空间与 内积空间、线性变换、矩阵的标准型、矩阵函数、广义逆等基本内容组成.书中内容力 求精简，系统性强，循序渐进，易于教学. 数值分析部分的第 1章至第 4章由黄自萍编写，第 5章至第 8章由沈剑华编写， 吴雄华完成了矩阵论部分的编写。 本书在出版过程中，得到同济大学应用数学系领导和教师的大力支持，同济大学 研究生院给予大力帮助，特此表示感谢. 由于编者水平有限，错误和不妥之处在所难免，恳请读者指正. 编者 2002 年1
目录1 目 前言 第I部分数值分析 第一章绪论 §1.】计算方法的意义………(3) S1,2误差及有关概念…… (5) §1.3数值计算中必须注意的几个原则…(7) 第二章解线性代数方程组的直接法 §2.1 Gauss消去法…（10) §2.2矩阵的三角分解…(15) §2.3解三对角方程组的追赶法…(31) 第三章解线性代数方程组的迭代法 ·§3.1基本迭代法………(35) §3.2范数及方程组的性态、条件数…(41) S3.3收敛性分析… …(46) S3.4共轭梯度法… …（55) 第四章矩阵的特征值和特征向量的计算 §4.】引言……………(61) S4.2乘幂法与反幂法…（62) §4.3Jac0bi方法………(69) S4.4QR方法… …(76)
前吉 分 数值分 第一章绪论 § 1. 2 第二章 计算方法的意义... .•. .•• .•. ..• ..…. '" ...…...., •.• .…" '" .•. ••. 误差及有关概念…….， •. . .. . .… 数值计算中必须注意的几个原则· 解线性代数方程组的直接法 (3) (5) (7) § 2. 1 § 2.2 § 2. 3 第三章 Gauss .•.••..• ..•..• ..………. ... .•• ..……………………. (10 ) 矩阵的三角分解... .•. .•. .•. .••... .•. ..……. ... ... ...•.. .. . .,. .•. .•. .., ... ... ( 15) 解三对角方程组的追赶法…………………………………………… 解续性代数方程组的迭代法 , § 3. 1 § 3. 2 § 3. 3 § 3.4 第四章 基本迭代法…... .•• ..• ..• ... 范数及方程组的性态、条件数... .•. ... ... ... ... .•. .…….. 收敛性分析…... ..• ... ... ... • 共辄梯度法……... ..•... ...., 矩阵的特征值和特征向量的计算 (35) (41) (46) (55) § 4. 1 § 4. 2 § 4.3 § 4.4 引言……………………………………………….....………….... ... (61) 乘幕法与反幕法…... ... ..……. .,. ... .., ... ... •. . ... •. . ..…. .., .•. ..• ... .•. (62) Jacobi … … … … … … … … … … … … … … … …(69) QR … … … … … … … … … … … … … … .•• '" ...... (76)
2目录 第五章非线性方程的数值解法 S5.1二分法…(82) §5,2迭代法…(84) §5.3迭代法的收敛阶和加速收敛方法… (89) S5.4牛顿(Newt0n)迭代法…… (92) S5.5弦截法……(96) 第六章插值与逼近 S6.1插值的基本概念…(99) §6.2拉格朗日(Lagrange)插值 (101) S6.3牛顿插值……(104) §6.4埃尔米特(Hermite)插值…(108) S6.5三次样条插值…… (112) 6.6B样条函数… (120) S6.7正交多项式，(123) §6,8最佳平方逼近…… (129) S6.9曲线拟合的最小二乘法。 (134) 第七章数值积分 §S7.1数值积分概述…(139) S7.2牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式…(141) §7.3自适应积分法…（148) §7.4龙贝格(Romberg)求积算法 (151) §7.5高斯(Guss)求积方法… (156) 第八章常微分方程初值问题的数值解法 §8.1尤拉(Euler)方法…（165) S8.2龙格-库塔(Runge-Kutta)方法…(170) §8.3收敛性与稳定性…(178)
2 第五章 § 5. 1 § 5. 2 § 5. 3 § 5. 4 § 5. 5 第六章 § 6. 1 § 6.2 § 6. 3 § 6.4 § 6. 5 § 6. 7 § 6. 8 § 6. 9 第七章 § 7. 1 § 7.2 § 7. 4 § 7. 5 第八章 § 8. 1 § 8. 2 § 8. 3 非线性方程的数值解法 二分法…….. ".. .. .. .. .. ".. ...... .. , .. .. , .. 迭代法….. 迭代法的收敛阶和加速收敛方法….. ".. ...... .. .... ...... 牛顿 弦截法…· 插值与逼近 (82) (84) (89) (92) (96) 900012223 n··1····-- 数值积分 数值积分概述.. ,," .." .. .. .... .. .." .. .... .. .. .. 牛顿-柯特斯 ewton-Cotes) 积公式 自适应积分法· 龙贝格 .. .. .. .. .. .. "" .. "" .. .. .... .. 高斯 s s .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .... .. ..…………. . 常微分方程初值问题的数值解法 尤拉 方法 … … … … .. .. , .. ""……………· 龙格-库塔 tt 方法 .. .. .. .. ....………… 收敛性与稳定性……………..".. .. .. ".. .. .. (139) (1 41) (148) (1 51) (1 56) (1 65) (1 70) (1 78)
目录3 习题…(183) 习题I答案…(191) 参考书目工… … (196) 第Ⅱ部分矩阵论 第一章矩阵基础知识 S1.1基本概念…(199) §1.2矩阵的初等变换…(201) S1.3相似矩阵……… (209) S1.4广义特征值……(211) 第二章线性空间与内积空间 §2.1线性空间的基本概念……(214) S2.2维数，基与坐标… (215) §2.3子空间的直和…… (219) §2.4基变换与转移矩阵……(219) S2.5实内积空间……（221) §2.6正交子空间 (225) §2.7复内积空间……(228) §2.8正规阵……(230) 第三章线性变换 §3.1线性变换 … (234) S3.2线性变换的矩阵表示… (235) §3.3线性变换的像和核…(237) §3.4正交变换…… (239) 第四章矩阵的标准型 S4.1入-阵的标准形…(241) S4.2J0rdan标准形…(246)
习题 ......….. .... ..... .... 习题 参考书目 . 3 (183) (1 91) (196) H部分 第一章 § 1. 1 §1. 2 §1. 4 第二章 矩阵论 矩阵基础知识 基本概念· 矩阵的初等变换……… 相似矩阵· 广义特征值· 线性空间与内积空间 (1 99) (201) (209) (211) 维数，基与坐标...... .. ..…….. .. .... ...... ...... ...... ...... ......….. ... .. .. . .. ... .. .. .. .. .….. .. .... .. .... .. 子空间的直和. ... ... ... .... ... .. 基变换与转移矩阵· 实内积空间….. . ... . .... 正交子空间... . .. ...………… 复内积空间.， 正规阵........ ..…. ... ...... § 2. 1 § 2. 2 § 2. 3 § 2.4 § 2. 5 § 2. 6 § 2. 7 § 2. 8 线性空间的基本概念 ………………………...•.. ...•... ..•... .... ... .... .. (214) (215) (219) (219) (221) (225) (228) (230) 第三章 § 3. 2 § 3.4 第四章 § 4. 1 § 4. 2 线性变换 线性变换…... .. .. . .….. 线性变换的矩阵表示...It .. • • 线性变换的像和核……….... ...…. . 正交变换…….... . .. ... .. .... ..... .. .. .. 矩阵的标准型 准形 Jordan (234) (235) (23 7) (239) (241) (246)