第七章第六节高阶线性微分方程一、线性微分方程二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法
高阶线性微分方程 第六节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、线性微分方程 第七章
一、线性微分方程y"+ P(x)y'+Q(x)y = f(x)（二阶线性微分方程）n阶线性微分方程的一般形式为y(n) +ai(x)y(n-1) + ..+an-1(x)y'+an(x)y = f(x)「(x丰0时,称为非齐次方程；f(x）=0时，称为齐次方程复习：一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x)P(x)dx通解: y=Ce-[P(x)dx+e-[P(x)dxQ(x)edx齐次方程通解Y非齐次方程特解y
n 阶线性微分方程的一般形式为 y P x y Q x y f x ( ) ( ) ( ) (二阶线性微分方程) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x) 通解: Q x x P x x P x x e ( ) e d ( ) d ( ) d P x x y C ( )d e 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y f (x) 0 一、线性微分方程
二、线性齐次方程解的结构定理1.若函数 yi(x),J2(x)是二阶线性齐次方程y" + P(x)y'+Q(x) y= 0的两个解，则y=Ciyi(x)+C2y2(x)(Ci,C2为任意常数)也是该方程的解.（叠加原理）证：将 y=Ciyi(x)+C22(x)代入方程左边,得[Ciy" +C2y2] + P(x)[Ciyi +C2y2 ]+Q(x)[Ciy1 +C2y2]=Ci[y"+ P(x)yi +Q(x)yi]+C2[y2 + P(x)y2 +Q(x)y2] = 0 证毕
( )[ ] P x C1 y1 ( )[ ] Q x C1 y1 0 证毕 二、线性齐次方程解的结构 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y C y x C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1 2 2 C y 2 2 C y 2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 C y P x y Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 C y P x y Q x y (叠加原理) ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y C y x C y x 定理1
说明：y=Ciyi()+C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解例如，J（x）是某二阶齐次方程的解，则y2(x)=2yi(x）也是齐次方程的解但是Ciyi(x) + C2y2(x) =(Ci + 2 C2)yi(x)并不是通解为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与线性无关概念
说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 ( ) ( ) 1 1 2 2 y C y x C y x 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念
定义：设 yi(x),y2(x),·…,yn(x)是定义在区间上的n 个函数，若存在不全为0的常数ki,k2，,kn,使得kiyi(x)+k2y2(x)+...+knyn(x)=0, xEI则称这n个函数在I上线性相关，否则称为线性无关例如,1,cos2x,sin2x,在(-oo,+)上都有1-cos~x-sin~x=0故它们在任何区间I上都线性相关：又如，1,x，x2,若在某区间上k+kx+x2=0则根据二次多项式至多只有两个零点，可见ki，k2，k3必需全为0，故1，x，x2在任何区间1上都线性无关
定义: ( ), ( ), , ( ) 1 2 y x y x y x 设 n 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数