第三章第二节洛必达法则型未定式型未定式三、其他未定式HIGHEDUCATION PRESS返回机动自录上页下页结束
三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章
0型未定式0定理 1. f(x)与g(x)在U(x)内有定义lim f(x) = 0, lim g(x) = 0X-→XoX-→Xo2) f(x)与g(x)在U(x)内可导,且g(x)≠0f'(x)存在(或为8)limg(x)X→Xof(x)f(x)limlimg'(x)g(x)x→XoX-→XoHIGH EDUCATION PRESS返回机动目录上页下页结束
一、 0 ( ) 3) lim ( ) x x f x g x 存在 (或为 ) 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x 0 2) ( ) ( ) ( ) , f x g x x 与 在 内可导 定理 1. 型未定式 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 f x g x x ( ) ( ) ( ) 与 在 内有定义
: 1) lim f(x)=0, lim g(x)= 0定理条件：x-XoXXo2) f(x)与g(x)在U(x)内可导,且g(x)±0f(x)存在(或为80)3limg'(x)x→Xo证：不妨假设 f(xo)=g(xo)=0,在指出的邻域内任取x ≠ xo 则 f(x),g(x)在以 x, xo为端点的区间上满足柯西定理条件f(x)-f(x)-f(a) f'()(在x,xo 之间)g()g(x)g(x)-g(a)3)f()f()f (x)lim limlimg'()g(x)X→Xog(x)X-→XoX-→XoHIGH EDUCATION PRESS机动上页返回目录下页结束
证: 不妨假设 0 0 f x g x ( ) ( ) 0, 在指出的邻域内任取 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a g x g x g a ( ) ( ) f g 0 ( ) lim ( ) x x f g 3) 定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) 3) lim ( ) x x f x g x 存在 (或为 ) 0 2) ( ) ( ) ( ) , f x g x x 与 在 内可导
f(x)f'(x) = limlim洛必达法则g'(x)g(x)x→Xox→Xo推论1.定理1 中x→x换为x → xox→8,x→+8,x→-8x→xo之一，条件2）作相应的修改，定理1仍然成立0f'(x)仍属推论 2. 若 lim型,且f'(x),g(x)满足定一g(x)0理1条件，则f(x)f'(x)xlimlimlimg(x)g(x)g"(x)HIGH EDUCATION PRESS返回定理1目录上页下页结束
推论1. 定理 1 中 0 x x 换为 之一, 推论 2. 若 ( ) lim g ( ) f x x 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x , 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x 0 x x 0 x x
e-1lim例.求x?-xx-0x3 -3x+2例.求lim-x2-x+1x>tan x -x例.求limx-0Xsin x例.设f"(x)在点x=α附近连续，f (a+h)+f(a-h)-2f (a)求极限limhh->0HIGH EDUCATION PRESS返回机动自录上页下页结束
例. 求 2 0 1 lim x x e x x 2 0 tan lim x sin x x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求 例. 求 2 0 2 lim h f x x a f a h f a h f a h 设 在点 附近连续， 求极限 例