第三章第三节泰勒中值定理一、泰勒中值定理二、麦克劳林公式三、泰勒公式的应用HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
二、麦克劳林公式 第三节 一、泰勒中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 泰勒中值定理 第三章
泰勒中值定理一、在微分应用中已知近似公式：y= f(x)f(x) = f(xo)+ f'(xo)(x -xopi(x)(p,(x)x的一次多项式X特点：Pi(xo) = f(xo)Xo x以直代曲pi(xo) = f'(xo)如何提高精度福需要解决的问题如何估计误差HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x 一、泰勒中值定理 f (x) x y y = f (x) o ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x + f x x − x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.求n次近似多项式Pn(x),要求：)= f(n)(xo)Pn(xo) = f(xo), Ph(xo)= f'(xo), **, phn(xo)Pn(x) = ao+ai(x- xo)+a2(x-xo)? +...+an(x - xo)n令ai +2a2(x- xo)+..+ nan(x- xo)n-1l则pn(x) =2la2 ++ n(n-1)a,(x-xo)n-2ph(x) =p(")(x)=n!anaj = pn(xo) = f(xo)ao = Pn(xo)= f(xo)a2 =2P"(xo)="(xo),., an =phn)(xo)= (n)(xo)故 Pn(x)= f(xo)+ f(xo)(x-xo)+f"(xo)(x-Xo)+ f(n)(xo)(x -xo)HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n = ( ), 0 = f x , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 2! 1 ! 1 n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f (x )(x − x ) 2! 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 pn (x) = 则 pn (x) = pn (x) = n p (n) (x) = n!a n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n = ( ), 0 = f x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n n a x x 2 2 !a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n n n a x x a0 n n a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ −
2.余项估计令 R,(x)=f(x)-P,(x)(称为余项)，则有R,(xo)= R,(xo) =... = R(n(xo)= 0R,(x)(x-xo)n+iR',(E)Rn(x)- R,(xo)(Si在xo与x之间)(x -xo)n+l- 0(n +1)(Si - xo)"R"(52)R,() - R,(xo)(52 在 Xo 与与i 之间)(n+ 1)n(≤2 -xo)n-I(n+1)(i-xo)"-0R(n+1)R(n)(En) - R(n)(xo)(在xo与x之间)(n+l)!(n +1)...2(En - xo)-0HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
) 0 ( 在 x 与 n 之间 ( ) ( ) 1 0 + − = n n x x R x ( 1) 2( ) ( ) 0 ( ) n x R n n n n + − = 2. 余项估计 R (x) f (x) p (x) 令 n = − n (称为余项) , ( ) 0 R x n ( ) 0 R x n = ( ) 0 0 ( ) = = R x = n n 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + − = ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R + − = 1 2 0 2 ( 1) ( ) ( ) − + − = n n n n x R = ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R n n 则有 ( ) 0 R x − n − 0 ( ) 0 R x n − − 0 ( ) 0 ( ) R x n − n − 0 x ) 1 0 ( 在 x 与x 之间) 1 2 0 ( 之间 在 与 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Rn(x)= f(x)-pn(x)R(n+I)(3)R,(x)(在xo与x之间n+1(n+1)!(x-xo)(n+1)(x) = 0, : . R(n+1)(x)= f(n+1)(x)(n+()(x-x0)n+R,(x)=(三在xo与x之间)(n+ l) !L f(n+1)(x)|≤M 时当在xo的某邻域内M[n+1[Rn(x)|≤x-Xo(n + 1)!: R(x)= o((x - xo)")x→xoHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
R (x) f (x) p (x) n = − n ) 0 ( 在 x 与x 之间 ( ) 0, ( 1) = + p x n n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 当 在 x0 的某邻域内 f (n+1) (x) M 时 ) 0 ( 在 x 与x 之间 1 0 ( 1)! ( ) + − + n n x x n M R x ( ) (( ) ) ( ) 0 0 R x o x x x x n n = − → 机动 目录 上页 下页 返回 结束