第五章第四节反常积分积分限有限常义积分被积函数有界推广反常积分（广义积分）一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分
二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章
一、无穷限的反常积分引例.曲线=和直线x=1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作A=J"其含义可理解为bdx号= lim A= limh-→+ob-→+00= limb-→+o0
2 1 x y A 1 x y O 一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 1 2 d x x A 其含义可理解为 b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim b b 1 lim 1 1
定义l.设f(x)EC[a,+oo),取b>α,若rblim f(x)dxb-+oa存在，则称此极限为f(x）的无穷限反常积分，记作[+ f(x)dx=, lim f°f(x)dxb+8Ja这时称反常积分f(x）dx收敛；如果上述极限不存在C就称反常积分(+0f(x)dx发散类似地,若 f(x)eC(-,b]，则定义" f(x)dx = lim J"f(x)dxa-8a
定义1. 设 f ( x) C [a , ), 取 b a , 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f ( x) C ( , b], 则定义
若 f(x)EC(-80,+),则定义- f(x)dx = lim f°f(x)dx+ lim1of(x)dxa--Jab-→+ooJc（c为任意取定的常数）只要有一个极限不存在，就称+f(x)dx发散无穷限的反常积分也称为第一类反常积分说明：上述定义中若出现80-0，并非不定型它表明该反常积分发散：
若 f ( x) C ( , ), 则定义 f x x c a a lim ( ) d f x x b b c lim ( ) d ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散
若F(x）是f(x）的原函数，引入记号F(+o)= lim F(x); F(-o0)= lim F(x)X→+0X→-00则有类似牛一莱公式的计算表达式+8= F(+)- F(a)+~ f(x)dx= F(x)ab["m (x)dx = F(x)= F(b)- F(-00)18+8[-~ f(x)dx = F(x)= F(+8)- F(-0)-8
引入记号 F ( ) lim F (x) ; x F ( ) lim F (x) x 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( ) d F (x) F ( ) F (a) f x x b ( ) d F (x) F (b) F ( ) f (x) dx F (x) F ( ) F ( )