第三章第一节微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页返回下页结束
一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 微分中值定理 第三章
一、罗尔(Rolle)定理费马（fermat）引理y= f(x)在U(xo)有定义,>f(xo)= 0且f(x)≤f(xo),'(xo)存在(或≥)证: 设Vxo +△x EU(xo), f(xo +△x)≤ f(xo)HXo6f(xo +x) - f(xo)则 f(xo)= limAxAx-0f'(xo)≥0 (△x→0-)>f(xo)=0f*(xo)≤0 (x→>0+)证毕HIGH EDUCATION PRESS费马目录上页下页返回结束
费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 (或 ) 证: 设 则 0 0 x y o 0 x 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
(y=f(x)罗尔（Rolle）定理y=f(x) 满足(1)在区间[α,b]上连续b xE福(2)在区间 (α,b) 内可导(3) f(a)=f(b)在(α,b)内至少存在一点 三,使 f（)=0证:因f(x)在[a,b]上连续,故在[a,b]上取得最大值M和最小值m若 M=m,则 f(x)=M,xE[a,b]因此V(α,b), f'()=0HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f ( ) = 0. x y o a b y = f ( x ) 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若 M>m,则 M和m中至少有一个与端点值不等不妨设 M ± f(a),则至少存在一点 ε(a,b),使f()= M,则由费马引理得f()=0注意：1）定理条件条件不全具备，结论不一定成立0≤x<1rf(x)=0,x=1XLf(x)= xf(x)= xxe[0,1]xe[-1,1]xCHIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f ( ) = 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 1 x y o 则由费马引理得 1 x y −1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：1）定理条件条件不全具备，结论不一定成立0≤x<1f(x)0x=1f(x)=[xlxe[-1,1]Of(x)= x,xe[0,1]2）定理条件只是充分的f(x)=x ,xE[-1,2HIGH EDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束
说明: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 1 x y o 1 x y −1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 定理条件只是充分的