第七章第节常系数非齐次线性微分方程一、 f(x)=eax Pm(x)型二、 f(x)=exx[P(x)cosox+ Pn(x)sin 0x) 型
常系数非齐次线性微分方程 第八节 f (x) e x Pm (x) 型 f x P x x l x ( ) e [ ( ) cos ( )sin ] 型 ~ P x x n 一、 二、 第七章
二阶常系数线性非齐次微分方程：j"+py'+qy=f(x)（p,q为常数)根据解的结构定理，其通解为y=Y+y*齐次方程通解非齐次方程特解求特解的方法一待定系数法根据f(x）的特殊形式，给出特解*的待定形式代入原方程比较两端表达式以确定待定系数
y p y q y f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y Y y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法
一、 f(x)=eax Pm(x)型a为实数，Pm(x）为m次多项式设特解为y*=e^×Q(x),其中Q(x)为待定多项式，y*'=eax[aQ(x)+Q'(x)]y*" =eax[2? Q(x)+2aQ'(x)+Q"(x)]代入原方程，得9"(x) +(22 + p)g'(x)+(22 + pa +q)Q(x) = Pm(x)(1）若不是特征方程的根，即＋p＋0,则取Q(x）为m次待定系数多项式Qm(x），从而得到特解形式为 y*=etxQm(x)
e [Q (x) x ( 2 p )Q(x) ( ) ( )] 2 p q Q x e P (x) m x 一、 f (x) e x Pm (x) 型 为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q (x) , x 其中 Q ( x) 为待定多项式 , y* e [ Q (x) Q (x)] x * e [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y Q x Q x Q x x 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . y p y q y f (x) (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 y* e Q (x) . m x Q (x) 为 m 次待定系数多项式
Q"(x) (2+pQ(x) +(a? + pa+gQ(x) = Pm(x)(2）若入是特征方程的单根，即+p+q=0,2+p0,则(x)为m 次多项式,故特解形式为 y*=xQm(x)ex(3）若几是特征方程的重根，即+p+q=0,2元+p=0,则Q"(x)是 m 次多项式,故特解形式为 y*= x2Qm(x)e~x小结对方程①，当是特征方程的k重根时，可设特解 y*=xk Qm(x)eix (k =0,1, 2)此结论可推广到高阶常系数线性微分方程
(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 2 p 0 , 则Q(x) 是 m 次多项式,故特解形式为 x m y x Q x * ( ) e 2 小结 对方程①, y* x Q (x) e (k 0, 1, 2) x m k 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q(x) P (x) ( ) ( ) m 2 p q Q x 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解
例1.求方程y"-2y'-3y=3x+1的一个特解解：本题=0，而特征方程为r2-2r-3=0，入= 0不是特征方程的根设所求特解为y*=box+b，代入方程：-3box-3b, -2bo =3x +1比较系数，得[-3bo = 3bo = -1, b =(- 2bo -3b, =1于是所求特解为J*=一x+
例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 3 1 1 , b0 b1 于是所求特解为 0 0