第四章第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念二、 基本积分表三、不定积分的性质
二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第四章
一、原函数与不定积分的概念定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足 F'(x)= f(x) 或 dF(x)= f(x)dx,则称 F(x) 为f(x)在区间I上的一个原函数例(sin x)=cosx sinx是cos x的一个原函数.(lnx) ==(x>0)Xlnx是一在区间(0,+oo)内的一个原函数Xln(-x)是一在区间(-o0,0)内的一个原函数X
一、 原函数与不定积分的概念 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 例 (sin ) cos x x 1 ln ( 0) x x x sin cos . x x 是 的一个原函数 1 ln (0, ) . x是 在区间 内的一个原函数 x 1 ln( ) ( ,0) . x x 是 在区间 内的一个原函数
问题：1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？2.若原函数存在，它如何表示？定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数简单地说：连续函数一定有原函数定理2.若F(x）)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都在函数族Fx）+C（C为任意常数）内
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 简单地说: 连续函数一定有原函数。 定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内
定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都在函数族F（x）+C（C为任意常数）内证: 1) : (F(x)+C)=F'(x)= f(x):F(x）+C是f(x）的原函数2）设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即@(x)= f(x)又知F(x)= f(x): [Φ(x)- F(x))=@'(x)- F'(x) = f(x)- f(x)= 0故Φ(x)= F(x)+Co(Co为某个常数)它属于函数族 F(x)+C
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [ ( x ) F ( x )] ( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 故 0 ( x ) F ( x ) C ( ) C 0 为某个常数 它属于函数族 F ( x ) C . 即
定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分，记作「f(x)dx，其中f(x）一被积函数;「一积分号;(P185)x 一积分变量；f(x)dx 一被积表达式若 F'(x)= f(x),则「 f(x)dx=F(x)+C_（C为任意常数）[e"dx= e"+C例如，C称为积分常数不可丢！[ x2dx= #x3 +Csin xdx = - cos x + C
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P185) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数, 不可丢 ! 例如, x x e d C x e x dx 2 x C 3 3 1 sin xdx c o s x C 记作