第五章第二节微积分的基本公式一、 引例二、积分上限的函数及其导数三、牛顿一莱布尼茨公式
二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 一、引例 第二节 微积分的基本公式 第五章
一、引例在变速直线运动中，已知位置函数s()与速度函数v(t)之间有关系：s'(t) = v(t)物体在时间间隔[T，T]内经过的路程为2 v(t)dt = s(T2) - s(T))这里s（t）是v(t)的原函数.这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( ) d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
二、积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间a,b|上连续2三f（x）并且设x为[a,b]上的一点。下面考察f(x）在部分区间a,x|上的定积分Oaxb x f(x)dx =" (0)dtO(x)=" f(0)dr(a≤x≤b)显然这个定积分是存在的。另外，这里不同位置的x表示不同的含义。为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号。如果上限xE[a,b]任意变动，那么每定一个x值，定积分都唯一确定一个值，所以它在[α,b]上定义一个函数
x 二、积分上限的函数及其导数 y f ( x) a b x y O
二、积分上限的函数及其导数定理1.若f(x)EC[a,bl，则变上限函数y=f(x)d(x)= J’f(t)dtd(x在[a,b]上可导，并且它的导数()d=(x),OabxΦ'(x)= -x+h证：Vx,x+he[a,b],则有(++h)-0()=[*th (0)dt- ,5()d hx+h*h f(0)dt= (5) (x<5<x+ h)h1:f(x)eC[a,b]Φ(x+h)-Φ(x)2 = lim f(E)= f(x) Φ'(x)= limhh-0h-0
(x) x x h 二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数 x a (x) f (t) d t 证: x , x h [a , b] , 则有 h (x h) (x) h 1 x a x h a f (t) d t f (t) d t x h x f t t h ( ) d 1 f ( ) ( x x h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 lim ( ) 0 f h ( x) f ( x) 定理1. 若 y f ( x) a b x y O d ( ) ( ) d ( ). d x a x f t t f x x
说明：1）定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路2）其他变限积分求导：od--10acp(x) f(t)dt = f [p(x)]p'(x)dxJrp(x)d -[, ()d+Jf(t)dtxa= f [(x)]p(x)- f [y(x)ly'(x)
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导: ( ) ( ) d d d x a f t t x f [ ( x) ] ( x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . ( ) ( ) ( ) d d d x x f t t x f [ ( x) ] ( x) f [ ( x) ] ( x) ( ) ( ) ( ) d ( ) d d d x a a x f t t f t t x