《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章 定积分_5-1 定积分的概念与性质

第五章第一节定积分的概念及性质一、定积分问题举例二、 定积分的定义三、 定积分的性质

第一节 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 定积分的概念及性质 第五章 三、 定积分的性质

一、定积分问题举例矩形面积=ahh梯形面积==(α+b)b2h1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线Vy= f(x)y=f(x) (f(x)≥0)A=?及x轴，以及两直线x=α,x=b所围成，求其面积AbxC

一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . A  ? y  f (x) 矩形面积 梯形面积 y O a b x

解决步骤：1)分割.在区间[a,b]中任意插入n-1个分点α = Xo <Xj < X2 <... < Xn-1 <xn = b用直线x=x将曲边梯形分成n个小曲边梯形2取近似．在第i个窄曲边梯形上任取SiE[xi-1，xi]V作以[xi-1,x,l为底，f()为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应Oaxixi-ixibx窄曲边梯形面积 △Ai，得SiAA, = f(5)Axi(△x, = x; -Xi-1)(i=1,2,..,n)

1x i x i1 a x y O 解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b  0  1  2    n1  n  [ , ] i i 1 i x x    用直线 i x  x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 取近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 [ , ] i 1 i x x  为底 , ( ) i f  为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 ( ) ( )  i  i  i  i  i  i1 A f  x x x x i

3)求和。A=A;~f(Ei)Axii=1i14)取极限。令=max△x，则曲边梯形面积<i≤nnAAA= lim2-0i=1nlimEf(E)AxioaxiXi-1 Xibx10i-15i

3) 求和.     n i A Ai 1     n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积      n i A Ai 1 0 lim       n i i i f x 1 0 lim ( )  1x i x i1 a x y O i

2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度 =v(t)εC[T,T2],且v(t)≥0，求在运动时间内物体所经过的路程s解决步骤：1)分割。在[T,T2]中任意插入n-1个分点,将它分成n个小段[ti-1,ti;](i=l,2,,n),在每个小段上物体经过的路程为 △s;(i=l,2,,n)2）取近似。任取;E[ti-1,til,，以v(Si)代替变速，得As, =v(5)At (i=1, 2,.,n)

2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分割. 将它分成 在每个小段上物体经 2) 取近似. 得 i i i  s  v( )t (i  1, 2,  , n) 已知速度 n 个小段 过的路程为