《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）5-5 二次型及其标准形

单选题0设置1分1、二次型 f(x,x2,x)=x -4xx2 +3x +6x2x -4x的矩阵为（y2-23123A=-203-2B提交

线性代数 第五章 1、二次型 的矩阵为（ ） A B C D 提交 2 2 2 1, 2 3 1 1 2 2 2 3 3 f x x x x x x x x x x ( , ) 4 3 6 4 = − + + − 1 2 0 2 3 2 3 2 0 3 2 A   −     = −    −     1 2 0 2 3 3 0 3 4 A   −   = −      − 1 4 0 0 3 6 0 0 4 A   −   =       − 1 4 0 4 3 6 0 6 4 A   −   = −      − 单选题 1分

线性代数第五章我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系设二次型f=XAX，作可逆线性变换X=CYf = X'AX = (CY)'A(CY)= Y'(C'AC)Y -Y'BY其中B=CAC: B'=(CAC)=CA(C)'= B所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵

线性代数 第五章 我们知道，经过线性变换二次型仍为二次型， 下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次 型的矩阵之间的关系. 设二次型f X AX X CY = =  ，作可逆线性变换 f X AX CY A CY = =   ( ) ( ) = = Y C AC Y Y BY    ( ) 其中B C AC =  B C AC C A C B       = = = ( ) ( ) 所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵

线性代数第五章定义5.2.2设A.B是两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵C，使得B=C'AC，则称A和B是合同的由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同注：由于两个矩阵合同则一定等价，因而它们有相同的秩

线性代数 第五章 5.2. , . 2 A B n C B C AC A B =  设 是两个 阶方阵，如果存在一个可逆 矩阵 ，使得 ，则称 和 定 是合同的 义 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与 原二次型的矩阵合同. 由于两个矩阵合同则一定等价，因而它们有 相同的秩. 注：

线性代数 第五章三、二次型的标准形只含有平方项的二次型f =ay+ay2+..+any称为二次型的标准型1.用正交变换化二次型为标准形2.用配方法化二次行为标准型3.利用合同变换化二次行为标准型

线性代数 第五章 2 2 2 1 1 2 2 . n n f y y y = + + +    只含有平方项的二次型 称为二次型的标准型 三、二次型的标准形 1.用正交变换化二次型为标准形 2. 用配方法化二次行为标准型 3. 利用合同变换化二次行为标准型

线性代数 第五章1.用正交变换化二次型为标准形

线性代数 第五章 1.用正交变换化二次型为标准形