《高等数学EI》课程教学大纲一、课程的基本信息课程名称高等数学EIAdvancedMathematicsEI课程编号L12358适用专业资源与环境学院各专业、生命与科学学院生工、生科专业课程性质公共基础课总学时80学时学分5学分80学时实验学时0学时实践学时理论学时80学时开课学期|第1学期先修课程初等数学后续课程复变函数、线性代数、概率统计二、课程性质和课程目标1.课程性质高等数学（E）I课程是数学与统计学院大学数学教学部在资源与环境学院所有专业、生命科学学院部分专业所进行的数学公共基础课试点课程，是这些专业重要的公共基础课程之一，具有较强的理论性和完整的运算体系。本课程通过对极限理论、微分学、积分学、微分方程理论的学习，使学生获得高等数学的基本知识、基本思想方法和基本的运算能力，为学习后续数学课程及各专业课程打下基础。2.课程目标课程目标1了解高等数学中极限的概念，正确理解高等数学中、连续、导数、微分、不定积分和定积分的概念，把握这些概念的基本结构和隐含在其中的思想方法，并较熟练运用这些概念解决相关的问题课程目标2通过对高等数学的有关概念性质、运算法则、求导法则、公式和定理的学习，掌握其方法，并学会应用重要原理如零点定理、微分中值定理所体现的构造法证明相关问题。课程目标3能够用求极限的方法、求导法、求不定积分和定积分的方法较熟练地计算相应各类问题，熟练掌握各类微分方程的解法
《高等数学 EI》课程教学大纲 一、课程的基本信息 课程名称 高等数学 E I Advanced Mathematics E I 课程编号 L12358 适用专业 资源与环境学院各专业、生命与科学学院生 工、生科专业 课程性质 公共基础课 总学时 80 学时 学分 5 学分 理论学时 80 学时 实验学时 0 学时 实践学时 0 学时 开课学期 第 1 学期 先修课程 初等数学 后续课程 复变函数、线性代数、概率统计 二、课程性质和课程目标 1．课程性质 高等数学（E）I 课程是数学与统计学院大学数学教学部在资源与环境学院所 有专业、生命科学学院部分专业所进行的数学公共基础课试点课程，是这些专业 重要的公共基础课程之一，具有较强的理论性和完整的运算体系。本课程通过对 极限理论、微分学、积分学、微分方程理论的学习，使学生获得高等数学的基本 知识、基本思想方法和基本的运算能力，为学习后续数学课程及各专业课程打下 基础。 2.课程目标 课程目标 1 了解高等数学中极限的概念，正确理解高等数学中、连续、导数、 微分、不定积分和定积分的概念，把握这些概念的基本结构和隐含在其中的思想 方法，并较熟练运用这些概念解决相关的问题。 课程目标 2 通过对高等数学的有关概念性质、运算法则、求导法则、公式和定 理的学习，掌握其方法，并学会应用重要原理如零点定理、微分中值定理所体现 的构造法证明相关问题。 课程目标 3 能够用求极限的方法、求导法、求不定积分和定积分的方法较熟练 地计算相应各类问题，熟练掌握各类微分方程的解法
课程目标4熟练掌握运用导数讨论函数整体形态的步骤：掌握定积分应用的基本方法一元素法：掌握数学模型思想，并能有运用导数、定积分和微分方程解决相关的实际问题。课程目标5通过对高等数学基础内容的学习，为后续课程打好基础，为大学第五学期的《高等数学研究》做好铺垫。课程目标6通过微积分的发展史、高等数学中重要概念产生的背景、概念的演变过程中体现出的辩证思想、数学思想方法、历史及数学意义、数学观念和态度的了解，培养学生敢于批判、敢于质疑的勇气，培养学生追求数学的统一化、严格化的信念和理性精神。课程目标7通过对高等数学中有关概念、原理中人文因素、思政要素的分析，提升学生的人格、道德修养，培养学生的爱国情操和文化自信。三、教学内容与课程目标的对应关系序与课程标课教学设计课程内容教学要求号时对应关系2211. 映射与函1.正确理解区1.教学设计及教学间与邻域的定建议数一集合定（1）根据学生的知义与集合的义，会求函数的定义域；各种运算，区识背景，函数相关内课程目标 1间与邻域的2.掌握基本初容应是复习总结性定义、映射定等函数的解析质的内容，但应注意义，函数的概表达式、定义不同地域学生所学念、函数的四域和值域，理知识的差异，做好知种性质：有界解基本初等函识的衔接，对于映性、单调性、数各种几何性射、函数及其性质可奇偶性和周质；简单介绍，对复合函期性、反函数3.把握复合函数、反三角函数以及课程目标2与复合函数数分解原则和函数模型方法的应的定义，复合过程；用实例应重点讲授。函数的分解4.了解初等函（2）极限理论是微过程与原则、数的定义；积分的基础，但极限基本初等函5.了解数列、概念的精确化定义数的解析表函数极限的定却具有较高的抽象达式、定义域义;性，对刚从中学进入和值域，基本6.会用单侧极大学的一年级学生课程目标3
课程目标 4 熟练掌握运用导数讨论函数整体形态的步骤；掌握定积分应用的基 本方法—元素法；掌握数学模型思想，并能有运用导数、定积分和微分方程解决 相关的实际问题。 课程目标 5 通过对高等数学基础内容的学习，为后续课程打好基础，为大学第 五学期的《高等数学研究》做好铺垫。 课程目标 6 通过微积分的发展史、高等数学中重要概念产生的背景、概念的演变 过程中体现出的辩证思想、数学思想方法、历史及数学意义、数学观念和态度的 了解，培养学生敢于批判、敢于质疑的勇气，培养学生追求数学的统一化、严格 化的信念和理性精神。 课程目标 7 通过对高等数学中有关概念、原理中人文因素、思政要素的分析， 提升学生的人格、道德修养，培养学生的爱国情操和文化自信。 三、教学内容与课程目标的对应关系 序 号 课程内容教学要求 教学设计 与课程标 对应关系 课 时 1 1. 映 射与 函 数 — 集合 定 义 与 集合 的 各种运算，区 间 与 邻域 的 定义、映射定 义，函数的概 念、函数的四 种性质：有界 性、单调性、 奇 偶 性和 周 期性、反函数 与 复 合函 数 的定义，复合 函 数 的分 解 过程与原则、 基 本 初等 函 数 的 解析 表 达式、定义域 和值域，基本 1.正确理解区 间与邻域的定 义，会求函数 的定义域； 2.掌握基本初 等函数的解析 表达式、定义 域和值域，理 解基本初等函 数各种几何性 质； 3.把握复合函 数分解原则和 过程； 4.了解初等函 数的定义； 5.了解数列、 函数极限的定 义； 6.会用单侧极 1.教学设计及教学 建议 （1）根据学生的知 识背景，函数相关内 容应是复习总结性 质的内容，但应注意 不同地域学生所学 知识的差异，做好知 识的衔接，对于映 射、函数及其性质可 简单介绍，对复合函 数、反三角函数以及 函数模型方法的应 用实例应重点讲授。 （2）极限理论是微 积分的基础，但极限 概念的精确化定义 却具有较高的抽象 性，对刚从中学进入 大学的一年级学生 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 22
初等函数具限讨论函数极而言，学习极限的有的各种性限的存在性；“-”方法有很质、初等函数7.熟练运用无大的困难，因此，在的定义、初等穷小的运算性讲授极限概念时，运函数与分段质和极限的运用逐步精确化方法函数的区别算法则求数列讲授极限分析定义课程目标4与联系；或函数的极的抽象过程，领会极限；2.数列的极限概念中的过程与限一一数列8.熟练运用两结果、精确与近似、极限的定义、个重要极限求有限与无限、常量与数列极限的相关极限；变量的对立统一关性质9.会用极限存系等内容，至于相关2函数的极限在准则求简单证明性的问题可以课程目标6数列或函数的略讲。一函数极限的定义、函数极限；（3）极限概念抽象极限的性质；10.会讨论函过程的讲授法：基于3.无穷小与数的连续性，问题的教学法与探无穷大一无判断函数间断究法相结合，最终通穷小与无穷过几何直观来介绍点的类型；大的定义以11.会运用闭极限的具体含义，及二者的联区间上连续函（4）求极限是本章课程目标7数的性质证明的一部分重点内容，系，极限与无简单命题.穷小的关系；为提高学生极限的11.极限运算重点：极限的运算能力，在课堂上法则一无穷求法、间断点应采用讲授与范例小的运算性与连续性的讨教学法相结合的教论.质及极限四学策略，并给与学生则运算法则；难点：数列与较多的练习机会，使12.极限存在学生更好地把握极函数的极限定准则，两个重义，分段函数限运算法则、两个重要极限；连续性的讨要极限等各种法则13.无穷小的论。或方法的运用。比较；（5）客观世界或自14.函数的连然中我们所观察到续性与间断的连续现象都是整点一连续与体连续的现实原型，间断点的定因此在引入连续概义，连续函数念时应借助于几何的运算性质，直观从整体连续性初等函数的分析出点连续的本质。连续性；（6）间断与连续是15.闭区间上连续函数的对立统一的，作为间性质。断点的理解，应充分
初 等 函数 具 有 的 各种 性 质、初等函数 的定义、初等 函 数 与分 段 函 数 的区 别 与联系； 2. 数 列的 极 限 — —数 列 极限的定义、 数 列 极限 的 性质 2函数的极限 — 函 数极 限 的定义、函数 极限的性质； 3. 无 穷小 与 无穷大— 无 穷 小 与无 穷 大 的 定义 以 及 二 者的 联 系，极限与无 穷小的关系； 11.极限运算 法 则 —无 穷 小 的 运算 性 质 及 极限 四 则运算法则； 12.极限存在 准则，两个重 要极限； 13.无穷小的 比较； 14.函数的连 续 性 与间 断 点 — 连续 与 间 断 点的 定 义，连续函数 的运算性质， 初 等 函数 的 连续性； 15.闭区间上 连 续 函数 的 性质。 限讨论函数极 限的存在性； 7.熟练运用无 穷小的运算性 质和极限的运 算法则求数列 或函数的极 限； 8.熟练运用两 个重要极限求 相关极限； 9.会用极限存 在准则求简单 数列或函数的 极限； 10. 会讨论函 数的连续性， 判断函数间断 点的类型； 11. 会运用闭 区间上连续函 数的性质证明 简单命题. 重点：极限的 求法、间断点 与连续性的讨 论. 难点：数列与 函数的极限定 义，分段函数 连续性的讨 论。 而言，学习极限的 “ ”方法有很 大的困难，因此，在 讲授极限概念时，运 用逐步精确化方法 讲授极限分析定义 的抽象过程，领会极 限概念中的过程与 结果、精确与近似、 有限与无限、常量与 变量的对立统一关 系等内容，至于相关 证明性的问题可以 略讲。 （3）极限概念抽象 过程的讲授法：基于 问题的教学法与探 究法相结合，最终通 过几何直观来介绍 极限的具体含义. （4）求极限是本章 的一部分重点内容， 为提高学生极限的 运算能力，在课堂上 应采用讲授与范例 教学法相结合的教 学策略，并给与学生 较多的练习机会，使 学生更好地把握极 限运算法则、两个重 要极限等各种法则 或方法的运用。 （5）客观世界或自 然中我们所观察到 的连续现象都是整 体连续的现实原型， 因此在引入连续概 念时应借助于几何 直观从整体连续性 分析出点连续的本 质。 （6）间断与连续是 对立统一的，作为间 断点的理解，应充分 课程目标 4 课程目标 6 课程目标 7 −
利用函数在某一点连续的定义分析出间断点应满足的条件。教学设计及及教1.导数概念1. 熟练掌握导课程目标11.122一导数的定数定义，会用学建议义、导数的几导数定义求函（1）阐述微积分发何意义、函数数极限；展的历史背景和演变过程，重点强调由的连续性与2.会运用左右可导性的关导数判断导数无穷小论引发的系、左右导数第二次数学危机导课程目标2的存在性；与导数的关3.运用导数的致的极限理论的诞系；几何意义求曲生，体现出在数学中2.函数的求线的切线和法是可以犯错的，也可线；导法则一函以纠错的；指出数学数和、差、积、4.熟练运用导发展过程中逻辑与商的求导法数的运算法则历史的不一致性，培则，反函数求求函数的导养学生正确的数学课程目标数；导法，复合函观。3、5（2）以基于问题教数的求导法5.熟练掌握隐则，基本初等学法引出导数与微函数、由参数函数的求导方程确定的函分的定义，并注意该公式；数的求导方定义在形式上的推法；6.高阶导数；广；分析导数定义形课程目标67. 隐函数求6.正确理解微成过程中的辨证思分定义的两种导法、由参数想，如整体与局部、方程确定函近似与精确等对立不同形式；数的求导公统一关系以及否定7.会求函数的式、相关变化之否定的思维过程。微分。率；（3）借助于范例教8.函数的微学法重点训练学生分一微分定的导数与微分的运课程目标7义、微分的几算能力，另外，还要何意义、微分突出导数这一模型公式与微分的实际应用。法则、微分在（4）在形式上，微分定义似乎与极限近似计算中的应用.概念没有必然的联系，这是一种误解.事实上，与课本给出的定义还有另外一种等价形式，在讲授微分概念时，应给出另外一种形式的定
利用函数在某一点 连续的定义分析出 间断点应满足的条 件。 2 1. 导 数概 念 — 导 数的 定 义、导数的几 何意义、函数 的 连 续性 与 可 导 性的 关 系、左右导数 与 导 数的 关 系； 2. 函 数的 求 导法则— 函 数和、差、积、 商 的 求导 法 则，反函数求 导法，复合函 数 的 求导 法 则，基本初等 函 数 的求 导 公式； 6.高阶导数； 7. 隐 函数 求 导法、由参数 方 程 确定 函 数 的 求导 公 式、相关变化 率； 8. 函 数的 微 分 — 微分 定 义、微分的几 何意义、微分 公 式 与微 分 法则、微分在 近 似 计算 中 的应用. 1.熟练掌握导 数定义，会用 导数定义求函 数极限； 2.会运用左右 导数判断导数 的存在性； 3.运用导数的 几何意义求曲 线的切线和法 线； 4.熟练运用导 数的运算法则 求函数的导 数； 5.熟练掌握隐 函数、由参数 方程确定的函 数的求导方 法； 6.正确理解微 分定义的两种 不同形式； 7.会求函数的 微分。 1. 教学设计及及教 学建议 （1）阐述微积分发 展的历史背景和演 变过程，重点强调由 无穷小悖论引发的 第二次数学危机导 致的极限理论的诞 生，体现出在数学中 是可以犯错的，也可 以纠错的；指出数学 发展过程中逻辑与 历史的不一致性，培 养学生正确的数学 观。 （2）以基于问题教 学法引出导数与微 分的定义，并注意该 定义在形式上的推 广；分析导数定义形 成过程中的辨证思 想，如整体与局部、 近似与精确等对立 统一关系以及否定 之否定的思维过程。 （3）借助于范例教 学法重点训练学生 的导数与微分的运 算能力，另外，还要 突出导数这一模型 的实际应用。 （4）在形式上，微 分定义似乎与极限 概念没有必然的联 系，这是一种误解. 事实上，与课本给出 的定义还有另外一 种等价形式，在讲授 微分概念时，应给出 另外一种形式的定 课程目标1 课程目标2 课程目标 3、5 课程目标6 课程目标7 12
义，为进一步学习多元函数的全微分的定义打下基础。1.微分中值1.教学设计及教学1.熟练掌握中课程目标2163建议定理一罗尔值定理；定理、拉格朗2.把握应用中（1）指出中值定理日中值定理、值定理的核心是本章的理论基础，柯西中值定方法一构造函起到联系导数与函课程目标3理；数法；数整体形态的桥梁2.洛必达法作用.通过中值定理3.熟练运用洛则；的应用，理解构造法必达法则求极限；3.函数的单的含义，并训练学生课程目标4调性与曲线4.掌握判断函的演绎推理能力。的凹凸性一数整体形态的2.通过函数整体性函数单调性方法和步骤；态的讨论，掌握导数的判定法、曲5.会求函数的应用的具体步骤是线的凹凸性极值、最大值课堂教学的基本内与拐点；与最小值并能容主要采用讲授与课程目标64.函数的极处理简单的实范例教学法相结合值的求法；际问题中的最的教学策略。5.函数的极值问题；3.突出函数单调性值与最大值的应用，如不等式的最小值一函证明、方程根的讨数的极值及论，有助于学生解题课程目标7其求法、最大能力的提高。值最小值问4.建立函数模型，解题；决现实生活中最值问题对培养学生的应用意识具有重要意义。1不定积分的1.正确理解原1.教学设计及教学课程目标1410概念与性质函数与不定积建议一原函数与分的概念，熟（1）积分运算与微不定积分的练掌握不定积分运算是互逆的，在概念、基本积分的2.基本公教学内容的组织过课程目标2分表、不定积式和性质，正程中，应充分利用积分的性质质；确认识微分运分与微分运算的互2.换元积分算与积分运算逆性设计教学过程法一第一换的互逆性；中的相关问题，以此课程目标3元法、第二换3.熟练掌握不为基本线索不仅可元法；定积分的换元以推导出不定积分3.分部积分法（第一换元的性质、基本公式课程目标7法；法、第二换元换元法和分部积分法，更重要的是可以4.有理函数法）、分部积
义，为进一步学习多 元函数的全微分的 定义打下基础。 3 1. 微 分中 值 定 理 —罗 尔 定理、拉格朗 日中值定理、 柯 西 中值 定 理； 2. 洛 必达 法 则； 3. 函 数的 单 调 性 与曲 线 的 凹 凸性 — 函 数 单调 性 的判定法、曲 线 的 凹凸 性 与拐点； 4. 函 数的 极 值的求法； 5. 函 数的 极 值 与 最大 值 最小值— 函 数 的 极值 及 其求法、最大 值 最 小值 问 题； 1.熟练掌握中 值定理； 2.把握应用中 值定理的核心 方法—构造函 数法； 3.熟练运用洛 必达法则求极 限； 4.掌握判断函 数整体形态的 方法和步骤； 5.会求函数的 极值、最大值 与最小值并能 处理简单的实 际问题中的最 值问题； 1.教学设计及教学 建议 （1）指出中值定理 是本章的理论基础， 起到联系导数与函 数整体形态的桥梁 作用.通过中值定理 的应用，理解构造法 的含义，并训练学生 的演绎推理能力。 2.通过函数整体性 态的讨论，掌握导数 应用的具体步骤是 课堂教学的基本内 容主要采用讲授与 范例教学法相结合 的教学策略。 3.突出函数单调性 的应用，如不等式的 证明、方程根的讨 论,有助于学生解题 能力的提高。 4.建立函数模型，解 决现实生活中最值 问题对培养学生的 应用意识具有重要 意义。 课程目标2 课程目标3 课程目标4 课程目标6 课程目标7 16 4 1不定积分的 概 念 与性 质 — 原 函数 与 不 定 积分 的 概念、基本积 分表、不定积 分的性质质； 2. 换 元积 分 法 — 第一 换 元法、第二换 元法； 3. 分 部积 分 法； 4. 有 理函 数 1.正确理解原 函数与不定积 分的概念，熟 练掌握不定积 分的 2.基本公 式和性质，正 确认识微分运 算与积分运算 的互逆性； 3.熟练掌握不 定积分的换元 法（第一换元 法、第二换元 法）、分部积 1.教学设计及教学 建议 （1）积分运算与微 分运算是互逆的，在 教学内容的组织过 程中，应充分利用积 分与微分运算的互 逆性设计教学过程 中的相关问题，以此 为基本线索不仅可 以推导出不定积分 的性质、基本公式、 换元法和分部积分 法，更重要的是可以 课程目标1 课程目标2 课程目标3 课程目标7 10