第一节II向量及其线性运算
第一节II 向量及其线性运算
两向量的数量积一
一、两向量的数量积
>引例设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为①的直线移动F位移为S，！则力F所做的功为0W =|F|3|cos0MiM2S>定义设向量a,b的夹角为e，称ablcoso为a与b的数量积（点积），记作a.b·注 当a→0时,lblcos=Prj,b——(在a上的投影)→a.b=a|Prja b6类似地a.b=bPrjra(b0)C
M1 W 定义 F s cos M2 a b 设向量 的夹角为 ,称 数量积(点积),记作 a , b 为a与b的 s 引例 设一物体在常力F作用下, 沿与力夹角为 的直线移动, 位移为s, 则力F所做的功为 注 ba Prj a b a ba Prj ( 0) 类似地 b (b在a上的投影)
>性质() aa=al(2）,b为两个非零向量，则有a.b=0→alb>运算律6a.b-b.a(1)交换律C(,μ为实数）(2)结合律a+b(aa).b=a.(ab)= a(a.b)C(aa)·(ub) =aμ(a.b)Prj.a Prjeb(a+b).=a.+b.c(3)分配律Prj.(a+b)例1证明三角形余弦定理c2=α2+b2-2abcosQ
性质 为两个非零向量, 则有 (1) a a (2) a ,b a b 0 运算律 (1)交换律 (2)结合律 a ( b) ( a )( b ) (a b) (3)分配律 c a b b a bc a Prj c Prj Prj (a b) c 例1 证明三角形余弦定理 2 cos . 2 2 2 c a b ab
>数量积的坐标表示设a=axi+a,j+a,k,b=b,i+b,j+b,ka.b=(a,i+a, j+a, k).(b,i+b, j+b,k).i=.j=k=l,7.j=j.k=k.i=0a.b=axbx +a,b, +a,b当a，b为非零向量时，?.b=|ab|cosa,bx+a,by+a,ba·bcOs =-[ai/6]a+a+a?b+b,+b两向量夹角公式
数量积的坐标表示 设 0 x x y y z z a b a b a b 当 为非零向量时, cos x x y y z z a b a b a b 2 2 2 x y z a a a 2 2 2 x y z b b b a b cos a a i a j a k , x y z b b i b j b k , x y z ( a i a j a k ) x y z (b i b j b k ) x y z i j j k k i a b a b 两向量夹角公式