线性代数 第五章$ 5.4实对称矩阵的相似对角形实对称矩阵的性质一、二、实对称矩阵对角化的方法三、小结
线性代数 第五章 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 三、小结
线性代数第五车实对称矩阵的性质一、上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题现在来解决本章的主要问题，即如何用正交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似。下面来看三个引理.证明过程课下掌握
线性代数 第五章 一、实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在来解决本章的主要问题，即如何用正交矩阵使 实对称矩阵与对角矩阵相似. 下面来看三个引理.证明过程课下掌握
线性代数第五享引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数引理5.4.1的意义由于对称矩阵A的特征值.为实数.所以齐次线性方程组(A- 2,E)x = 0是实系数方程组,由A-α,E=0知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量
线性代数 第五章 引理5.4.1的意义 , ( ) 0 , 0 , . i i i A A E x A E − = − = 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 线性方程组 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 系 从而对应的特征向量可以取实向量 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数
线性代数第五章引理5.4.2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的引理5.4.3设A为n阶对称矩阵，a是A的特征方程的r重根，则矩阵A一aE的秩为n一r.从而对应特征值a恰有个线性无关的特征向量设A为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使定理5.4.1(实对称矩阵基本定理）P-IAP=Λ，其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵
线性代数 第五章 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的. , , 5.4.3 , . A n A r A E n r r − − 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩为 从而对应特征值 恰有 个线性无关的特 引 征向量 理 1 , , 5.4. , . 1 A n P P AP A n − = 设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对 理 角矩阵 定 定理5.4.1 (实对称矩阵基本定理)
线性代数第五章证明：设A的的互不相等的特征值为,2，…,,它们的重数依次为r,2,….,r,(r+r+.….+r,=n).根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引理5.4.3(r重根恰有r个线性无关的特征向量)可得：对应特征值a,(i=1,2,.…,s),恰有r个线性无关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得r个单位正交的特征向量.而由(r +r +.…+r,=n)知，这样的特征向量共有n个
线性代数 第五章 证明： 1 2 , , , , 设A的的互不相等的特征值为 s 1 2 1 2 , , , ( ). s s 它们的重数依次为r r r r r r n + + + = 根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引 理5.4.3(r重根恰有r个线性无关的特征向量)可得： 1 2 ( 1,2, , ), , , . ( ) . i i i s i s r r r r r n n = + + + = 对应特征值 恰有 个线性无 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 单位正交的特征向量 而由 知， 这样的特征向量共有 个