高等数学学习辅导刘奋王玉凤陆晓光，主编中国石油大学数理系
高等数学学习辅导 刘奋 王玉凤 陆晓光 主编 中国石油大学数理系
前言高等数学是高等院校工科专业最重要的基础理论课之一，它不仅是学习后续课程以及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作的必要基础，而且对学生能力的培养起着重要的作用。如何更好地指导学生学习这门课程，提高学习效率，解决疑难问题，加强自学辅导，加深对所学内容的理解和掌握，提高其综合运用知识解决实际问题的能力，我们编写了这本参考书。本书与教材《高等数学》（第五版，上、下册，高教出版社，同济大学编写）相配套，以国家教委颁发的高等学校工科《高等数学课程教学基本要求》为依据，总结了高等数学课程各章节的主要内容和基本要求；精选了各种类型的例题进行解题分析；配合教学内容，补充了较大信息量的练习题，并给出提示或解答。本书的许多内容，是长期执教高等数学的教师所积累的宝贵教学经验的总结，也是对教材内容的补充和扩展。这些内容，对于指导学生高等数学的学习，正确理解有关概念，澄清模糊认识，加强基本运算的训练，提高学习成绩培养创新能力和素质，都是很重要的。本书第一章由支丽霞编写，第二章由杨丽娜编写，第三章由穆铮编写，第四章、第五章由王玉凤编写，第六章、第十章由刘奋编写，第七章由李晓童编写，第八章、第九章由陆晓光编写，第十一章由陈安乐编写，第十二章由刘福江编写，在这里对他们的辛勤劳动表示诚挚的谢意。还要感谢数理系的领导、同仁对我们工作的大力支持和帮助，尤其是陈安乐老师、孙为老师和梁景伟老师。由于我们的水平有限，错误之处在所难免，请大家批评指正，编者2005年7月
前 言 高等数学是高等院校工科专业最重要的基础理论课之一，它不仅是学习后续课程以及 在各个学科领域中进行理论研究和实践工作的必要基础，而且对学生能力的培养起着重要的 作用。如何更好地指导学生学习这门课程，提高学习效率，解决疑难问题，加强自学辅导， 加深对所学内容的理解和掌握，提高其综合运用知识解决实际问题的能力， 我们编写了这 本参考书。 本书与教材《高等数学》（第五版，上、下册，高教出版社，同济大学编写）相配套， 以国家教委颁发的高等学校工科《高等数学课程教学基本要求》为依据，总结了高等数学课 程各章节的主要内容和基本要求；精选了各种类型的例题进行解题分析；配合教学内容，补 充了较大信息量的练习题，并给出提示或解答。本书的许多内容，是长期执教高等数学的教 师所积累的宝贵教学经验的总结，也是对教材内容的补充和扩展。这些内容，对于指导学生 高等数学的学习，正确理解有关概念，澄清模糊认识，加强基本运算的训练，提高学习成绩， 培养创新能力和素质，都是很重要的。 本书第一章由支丽霞编写，第二章由杨丽娜编写，第三章由穆铮编写，第四章、第五章 由王玉凤编写，第六章、第十章由刘奋编写，第七章由李晓童编写，第八章、第九章由陆晓 光编写，第十一章由陈安乐编写，第十二章由刘福江编写，在这里对他们的辛勤劳动表示诚 挚的谢意。 还要感谢数理系的领导、同仁对我们工作的大力支持和帮助，尤其是陈安乐老师、孙为 老师和梁景伟老师。 由于我们的水平有限，错误之处在所难免，请大家批评指正。 编 者 2005 年 7 月
目录第一章函数与极限(1)(26)第二章导数与微分·(37)第三章微分中值定理与导数的应用(72)第四章不定积分(90)第五章定积分第六章定积分·(108)第七章向量代数与空间解析几何(121)(132)第八章多元函数微分法及其应用(170)第九章重积分·第十章曲线积分与曲面积分(197)(221)第十一章无穷级数(238)第十二章微分方程
目 录 第一章 函数与极限.（1） 第二章 导数与微分.（26） 第三章 微分中值定理与导数的应用.（37） 第四章 不定积分.（72） 第五章 定积分.（90） 第六章 定积分.（108） 第七章 向量代数与空间解析几何.（121） 第八章 多元函数微分法及其应用.（132） 第九章 重积分.（170） 第十章 曲线积分与曲面积分.（197） 第十一章 无穷级数.（221） 第十二章 微分方程.（238）
第一章函数与极限第一章函数与极限基本要求理解函数的概念，掌握函数的表示方法1.2.了解函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性3.理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念4.掌握基本初等函数的性质及其图形5.会建立简单应用问题中的函数关系式理解极限的概念，理解函数左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的之间的关系6.掌握极限的性质及四则运算法则7.8.掌握极限存在的两个准则，并会利用他们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法理解无穷大以及无穷小的概念，回用等价无穷小求极限9.10.理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型11.解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，介值定理），并会应用这些性质主要内容本章内容总框图定义初等、函数的连续性映射定义（定义域、值域、对应关系）连续连续函数的运算性质（有界、单调、奇偶、周期）函数间断闭区间上连续函数的性质基本初等函数反函数与复合函数一M定义x→函数 f(x)→A几何意义—8定义x→xf(x)→A定义数列极限的e—N定义有关数列极限的定理极限性质及极限运算法则无穷小量的比较无穷小量与无穷大量极限存在法则两个重要极限
第一章 函数与极限 第一章 函数与极限 一． 基本要求 1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法 2． 了解函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性 3． 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4． 掌握基本初等函数的性质及其图形 5． 会建立简单应用问题中的函数关系式 6． 理解极限的概念，理解函数左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的之间的关系 7． 掌握极限的性质及四则运算法则 8． 掌握极限存在的两个准则，并会利用他们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法 9． 理解无穷大以及无穷小的概念，回用等价无穷小求极限 10. 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型 11．解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，介值定理）， 并会应用这些性质 二． 主要内容 本章内容总框图 映射 定义 函数 反函数与复合函数 极限存在法则 两个重要极限 定义 极限性质及 运算法则 ε—M 定义 x→ ∞函数 f(x)→ A ε—δ定义 x → x0 f(x)→ A 数列极限的ε—N 定义 有关数列极限的定理 无穷小量与无穷大量 几何意义 极限 无穷小量的比较 定义（定义域、值域、对应关系） 连续 连续函数的运算 闭区间上连续函数的性质 初等、函数的连续性 间断 基本初等函数 性质（有界、单调、奇偶、周期） 1
第一章函数与极限1.函数1.函数的定义函数的分类有理整函数（多项式函数）有理函数代数函数有理分函数（分式函数）无理函数初等函数函数超越函数（非初等函数（分段函数）2.函数的性质(1）函数的有界性(2)函数的单调性(3）函数的奇偶性(4)函数的周期性3.反函数4.复合函数5.基本初等函数(1)幂函数=x"（u是常数)(a>0,a+1)(2)指数函数y=α(3）对数函数y=log。(a>0,a±1)(4)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx(5)反三角函数y=arctanx,y=arccotx6.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数7.双曲函数与反双曲函数e'-e"*双曲正弦shx-2e+e-r双曲余弦chx-2shxer-er双曲正切thx-chxe*+e-x2.极限1.极限的定义“—N"定义定义1Vs>0,3N>0,使n>N时，恒有x-a，记为limx,=a或x,→a（n-→8)2
第一章 函数与极限 1. 函数 1. 函数的定义 函数的分类 有理整函数（多项式函数） 有理函数 代数函数 有理分函数（分式函数） 无理函数 初等函数 函数 超越函数 非初等函数（分段函数） 2. 函数的性质 (1) 函数的有界性 (2) 函数的单调性 (3) 函数的奇偶性 (4) 函数的周期性 3. 反函数 4. 复合函数 5. 基本初等函数 (1) 幂函数 (μ是常数) µ y = x (2) 指数函数 y = a ( ) a > 0,a ≠1 x (3) 对数函数 y = log ( ) a > 0,a ≠1 x a (4) 三角函数 y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x (5) 反三角函数 y = arctan x, y = arccot x 6. 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个 式子 表示的函数 7. 双曲函数与反双曲函数 双曲正弦 shx= 2 x x e e− − 双曲余弦 chx= 2 x x e e− + 双曲正切 thx= chx shx = x x x x e e e e − + − 2． 极限 1．极限的定义 “ε— N”定义 定义 1 ∀ε > 0 ,∃N > 0 ,使 n>N 时，恒有| xn − a |<ε ，记为 x a n n = →∞ lim 或 xn → a （ n → ∞） 2