《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）5-2 方阵的特征值与特征向量

S 5.2方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值与特征向量的概念二、方阵的特征值与特征向量的性质三、方阵的特征值与特征向量的求法

§5.2 方阵的特征值与特征向量 一、方阵的特征值与特征向量的概念 二、方阵的特征值与特征向量的性质 三、方阵的特征值与特征向量的求法

线性代数第五章一、方阵的特征值与特征向量的概念定义5.2.1设A是n阶矩阵，若存在实数入和非零向量x,使得Ax=x成立，则称数a为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量说明：1.一个特征向量只能属于一个特征值，但是一个特征值可能有多个特征向量；2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组(A-E)x=0有非零解的值，即满足方程A-E=0的入都是矩阵A的特征值

线性代数 第五章 5.2.1 , . A n x Ax x A x A     = 设 是 阶矩阵，若存在实数 和非零向 量 使得 成立，则称数 为方阵 的 非零向量 称为 的对应于特 特 征值 的 征 值， 特 定 征向量 义 1.一个特征向量只能属于一个特征值， 但是一个特征值可能有多个特征向量； 2. , ( ) 0 , 0 . n A A E x A E A     − = − = 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 有非零解的 值 即满足方程 的 都是矩阵 的特征值 一、方阵的特征值与特征向量的概念 说明：

线性代数 第五卖由定义5.2.1得A-E=0au-aa12aina2 -a21a2n=0一-2a,aanln2nn称以a为未知数的一元n次方程A－E=0为方阵A的特征方程记f(a)=A-aE|,它是a的n次多项式，称其为方阵A的特征多项式

线性代数 第五章 由定义5.2.1 0 得 A E − =  11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a    − −  = − 0 , n A E A 称以  为未知数的一元 次方程 − = 为方阵 的特征方程 ( ) , , . A f A E n A 记    = − 它是 的 次多项式 称其为方阵 的特征多项式

线性代数 第五幸3.设n阶方阵A=(a,)的特征值为,z,元,,则有(1) A, + 2, +..+an = ai1 +a22 +..+amn;(2) 2,22 .an =[A.通常称au+a22++a为矩阵A的迹，记作Tr(A),即Tr(A)= au + a22 +...+annn

线性代数 第五章 1 2 3. ( ) , , , , ij n n A a    设 阶方阵 = 的特征值为 则有 (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A 11 22 11 22 Tr( ), Tr( ) nn nn a a a A A A a a a + + + = + + + 通常称 为矩阵 的迹，记作 即

线性代数第五卖3例1求方阵A=的特征值和特征向量3-1 解：A的特征多项式为3-2-1A-ZE= (4 - 2)(2 - 2)3-2-1= A的特征值为,=2，,=4下边求特征向量（解（A-ΛE)X=O）

线性代数 第五章    − − − − − = 1 3 3 1 A E 3 1 1 3 1 A   − =     − 例 求方阵 的特征值和特征向量 = (4 − )(2 − ) 1 2  = = A的特征值为  2, 4 解：A的特征多项式为 下边求特征向量( ) 解( ) A E X O − = 2