线性代数教案第3章向量与线性方程组练习引导学生自己（提示：α,αα线性无关=αα,线性无关）完成（2）α不能由α,αz,α线性表示。（提示：反证法）拓展练习已知α, =(1,-1,0,0)T, α, =(0,1,1,-1)T, α, =(-1,3,2,1)T, α4 =(-2,6,4,1)讨论向量组α,αzα,α及向量组α,αzα,的线性相关性课后小结：1．向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；2.线性组合与线性表示的定义与判定：定理1（充要条件）β可由αi,,α,线性表示R(A)=R(A,β)向量组A与向量组B等价R(A)=R(B)=R(A,B)定理2（充要条件）2.线性相关与线性无关的判定方法：A中含有零向量A中部分组线性相关方阵A不可逆AaR(A)<mA中存在α,可由其余向量线性表示向量组A:α,α2…αm线性相关定义k,α,+k,αz+..+kmαm=0，k不全为零Ax=0有非零解A的维数<m厉阵A可逆A中每个向量都添加m个分量仍线性无关A中部分组线性无关AaxR(A)=mA任何α,不能由其余向量线性表示向量组A：α,α2αm线性无关定义只有k全为零，kαkα,+..+k.αm=0Ax-只有零解线性相关与线性无关：11①向量组α1α2,,α,线性无关，而向量组,β2β，β线性相关，则β可由αi,α2α,线性表示，且表示法唯一。②若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关作业：P86-4、6、7、8、9-6-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 6 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） （提示： 2 3 4 , , 线性无关 2 3 , 线性无关） （2） 4 a 不能由 1 2 3 , , 线性表示。 （提示：反证法） 拓展练习 已知 T 1 (1,1,0,0) ， T 2 (0,1,1,1) ， T 3 (1,3, 2,1) ， T 4 (2,6, 4,1) 讨论向量组 1 2 3 4 , , , 及向量组 1 2 3 , , 的线性相关性. 练习引导学生自己 完成 课后小结： １. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示； 2.线性组合与线性表示的定义与判定； 定理 1（充要条件） 可由 n , , 1 线性表示 R(A) R(A, ) 定理 2（充要条件） 向量组 A 与向量组 B 等价 R(A) R(B) R(A,B) 2. 线性相关与线性无关的判定方法： A 中含有零向量 A 中部分组线性相关 方阵 A 不可逆 Amn A 中存在i 可由其余向量线性表示 向量组 A： 1 2 , , m 线性相关 R(A)<m 定义 A 的维数<m 1 1 2 2 0 m m k k k ， i k 不全为零 Ax 0 有非零解 A 中每个向量都添加 m 个分量仍线性无关 A 中部分组线性无关 方阵 A 可逆 Amn A 任何i 不能由其余向量线性表示 向量组 A： 1 2 , , m 线性无关 R(A)=m 定义 只有 i k 全为零， 1 1 2 2 0 m m k k k Ax 0 只有零解 线性相关与线性无关： ①向量组 s , , , 1 2 线性无关，而向量组 1 2 , , , s ， 线性相关，则 可由 s , , , 1 2 线性表 示，且表示法唯一。 ②若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关. 作业：P86-4、6、7、8、9
线性代数教案第3章向量与线性方程组授课题目$3.3向量组的秩与极大无关组第13讲教学目的1.理解向量组的秩与极大无关组的定义2.掌握求向量组的秩与极大无关组的方法教学重点向量组的秩与极大无关组的定义与求法教学难点向量组的秩与极大无关组的求法.教学时数2学时教学方法探究-讨论教学手段板书与多媒体相结合备注教学过程复习引入：向量组的线性相关性与向量组构成的矩阵的秩有密切关系引出，向量组秩的定义A中含有零向量厉阵A不可逆A中部分组线性相关111 AmA中存在α可由其余向量线性表示一向量组A:α,α线性相关R(A)<m定义1↑家A的维数<mk+++km=0，不全为零Ax=0有非零解A中每个向量都添加m个分量仍线性无关A中部分组线性无关方阵A可逆11A1A任何α不能由其余向量线性表示向量组A.α线性无关R(A)=m金定义1只有全为零，+k++m=Ax=0只有零解判定线性相关性的重要结论：1.向量组α1,α2，""α,线性无关，而向量组β,β，"",β，β线性相关，则β可由α1,α2，",α，线性表示，且表示法唯一。2.线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。3.含零向量的向量组必线性相关，4.若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关一、向量组的秩与极大线性无关组定义1设有向量组A，若与矩阵秩的定义比(1）在A中有r个向量α,αz,,α,线性无关；较（2）在A中任意r+1个向量（如有r+1个向量）都线性相关则称αi，α2，",α，为向量组A的一个极大线性无关组，简称极大无关组.称r为向量组A的秩，记作R(A)或RA:-7-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）
线性代数教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 7 - 授课题目 §3.3 向量组的秩与极大无关组 第 13 讲 教学目的 1.理解向量组的秩与极大无关组的定义 2.掌握求向量组的秩与极大无关组的方法 教学重点 向量组的秩与极大无关组的定义与求法. 教学难点 向量组的秩与极大无关组的求法. 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 复习引入：向量组的线性相关性与向量组构成的矩阵的秩有密切关系引出，向量组秩的定义. 判定线性相关性的重要结论： 1.向量组 s , , , 1 2 线性无关，而向量组 1 2 , , , s ， 线性相关，则 可由 s , , , 1 2 线性表 示，且表示法唯一。 2.线性无关的向量组的每个向量都添加 m 个分量后仍线性无关。 3.含零向量的向量组必线性相关． 4.若多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关. 一、向量组的秩与极大线性无关组 定义 1 设有向量组 A , 若 (1) 在 A 中有 r 个向量 r , , , 1 2 线性无关； (2) 在 A 中任意 r 1个向量（如有 r 1个向量）都线性相关． 则称 r , , , 1 2 为向量组 A 的一个极大线性无关组, 简称极大无关组.称 r 为 向量组 A 的秩, 记作 R(A) 或 RA . 与矩阵秩的定义比 较