沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第五章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律

5.1大数定律一、切比雪夫不等式二、切比雪夫大数定律三、伯努利大数定律四、辛钦大数定律沈阳师范大学

一、切比雪夫不等式 三、伯努利大数定律 二、切比雪夫大数定律 5.1 大数定律 四、辛钦大数定律

一、切比雪夫(Chebyshev)不等式切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X具有数学期望氏X)=μ,方差D(X)=2 ,则对于任意正数> 0,有SP( X-μ≥)≤3 P(X- μ≤c)≥1-g8沈阳师范大学

( ) 2 2 | |   P X −     切比雪夫(Chebyshev)不等式:设随机变量X具有数 学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任意正数ε> 0,有 ( ) 2 2 1    P X −     − 一、切比雪夫(Chebyshev)不等式

-切比雪夫(Chebyshev)不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=c2,则对于任意正数c> 0,有0P(X-μ)P(X-μ≤e)≥1-%31证明:设X的概率密度为f(x),则有x-uf(x)dx》/f(x)dxP(I X - μ≥) =3[x-μ8[x-+00(x-μ)f(x)dx=??-00沈阳师范大学

| | {| | } ( ) x P X f x dx     −  −  =  证明 :设X的概率密度为f(x),则有 2 2 | | | | ( ) x x f x dx     −  −   2 2 2 2 1 ( ) ( ) x f x dx     + −  − =  ( ) 2 2 | |   P X −     切比雪夫(Chebyshev)不等式:设随机变量X具有数学 期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任意正数ε> 0,有 ( ) 2 2 1    P X −     −

T例1 已知随机变量X的数学期望为E(X)=10.方差 D(X)=0.04试用切比雪夫不等式估计P[9.2<X<11的大小.解 P(9.2<X<11)= P(-0.8<X-10<1)0.04=0.9375≥ P(X-10|<0.8) ≥1-(0.8)P(X -μ≤)≥1-a沈阳师范大学

解 P9.2  X 11= P−0.8  X −10 1  P X −10  0.8 ( ) 2 0.8 0.04 1− = 0.9375 P X 9.2 11    D X( ) 0.04 = 例1 已知随机变量X的数学期望为E(X)=10, 方差 试用切比雪夫不等式估计 的大小. ( ) 2 2 P X 1     −   −

--练习1.设EX=μ,DX=o2,则由切比雪夫不等式可知P(X-μ<30)≥2. 设随机变量X 的EX=71,DX =5估计得P(/X-71≥k≤0.05,则k=8(2)k = 109沈阳师范大学

1 .设 2 EX =μ,DX =σ , 则由切比雪夫不等式可知： P X -  μ< 3σ  . 2.设随机变量 X 的 EX DX = = 71, 5, 估计得 P X k  −   71 0.05  ,则k = , (2) 10 9 8 (1) k = 练习