第六章 第三节曲面及其方程 (Surface and Its Equation) 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第三节 曲面及其方程 第六章 （Surface and Its Equation ） 四、二次曲面 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱 面 五、小结与思考练习
一、曲面方程的概念(Equations for a Surface) 引例：求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解：设轨迹上的动点为M(x,y,z),则AM=BM,即 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2 化简得2x-6y+2z-7=0 说明：动，点轨迹为线段AB的垂直平分面. 1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、曲面方程的概念 求到两定点 A(1,2,3) 和 B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 zyx −+−+− )3()2()1( 化简得 x − y + z − = 07262 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 zyx −+++−= )4()1()2( 解:设轨迹上的动点为 M x y z ,),( 则 = BMAM , 轨迹方程. （Equations for a Surface)
定义1如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系： (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程； (2)不在曲面S上的，点的坐标不满足此方程， 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程， F(x,y,2)=0 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形 Z 两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时， 求曲面方程。 (2)已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图). 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 F x y z = 0),( S z y x o 定义 1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 )
例1求动点到定点M0(xo,y0,20)距离为R的轨迹 方程. 解：设轨迹上动点为M(x,y,2),依题意MoM=R 即 V(x-x0)2+(y-0)2+(2-20)2=R 故所求方程为 (x-x)2+(y-)2+(2-20)2=R2 特别，当M在原点时，球面方程为 x2+y2+z2=R2 z=士√R2-x2-y2表示上（下）球面 X 2009年7月3日星期五 4 目录○ 、上页 (下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 故所求方程为 M x y z),( ),( 0000 M x y z 方程. 特别,当 M0在原点时,球面方程为 解 : 设轨迹上动点为 0 = RMM 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M 0 222 −−±= yxRz 表示上 ( 下 )球面 . =−+−+− Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 )()()( 2 2 22 0 00 ( )( )( ) x − +− +− = x yy zz R 2 22 2 xyzR + + = 例1 求动点到定点
例2研究方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样 的曲面.（课本例3） 解：配方得(x-1)2+(y+2)2+z2=5 此方程表示：球心为M0(1,-2,0), 半径为√5的球面 说明：如下形式的三元二次方程(A≠0) A(x2+y2+22)+Dx+Ey+Fz+G=0 都可通过配方研究它的图形. 2009年7月3日星期五 5 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 042 222 yxzyx =+−++ 解: 配方得 5 ,)0,2,1( 此方程表示: M 0 − 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A ≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 的曲面. （课本 例 3 ） 表示怎样 半径为 的球面. ( ) 0 222 GFzEyDxzyxA =++++++ 球心为 5)2()1( 2 22 zyx =+++− 例2 研究方程