第六章 第四节空间曲孩及其方程 (Space Curve and Its Equations) 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、曲面的参数方程 四、空间曲线在坐标面上的投影 五、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第四节 空间曲线及其方程 第六章 （Space Curve and Its Equations) 四、空间曲线在坐标面上的投影 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、曲面的参数方程 五、小结与思考练习
一、空间曲线的一般方程 (General Equation of Space Curve) 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,z)=0 S2 S G(x,y,z)=0 0 G(x,y,z)= F(x,y2)=0 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C 2009年7月3日星期五 2 目录○ 、上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 2 S L G ( x, y,z ) = 0 F ( x, y,z ) = 0 1 S 例如,方程组 ⎩ ⎨ ⎧ + = + = 2 3 6 1 2 2 x z x y 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2 (General Equation of Space Curve)
又如，方程组 2 表示上半球面与圆柱面的交线C ay 2009年7月3日星期五 3 目录○ 上页下页 (返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 表示上半球面与圆柱面的交线 C. ⎩ ⎨ ⎧ =−+ −−= 0 22 222 xayx yxaz y x z a o 又如 ,方程组
二、空间曲线的参数方程 (The Parametric Equation of Space Curve) 将曲线C上的动，点坐标x,y,z表示成参数t的函数： x=x(t) y=y(t) 称它为空间曲线的 参数方程. 2=z(t) 例如，圆柱螺旋线的参数方程为 x=acosot y=asinot令0=ot,b=y x=acose Z=vt y=asine z=b0 当0=2π时，上升高度h=2πb,称为螺距 2009年7月3日星期五 4 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 二、空间曲线的参数方程 将曲线 C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数: z x y o )( 称它为空间曲线的 参数方程. = xx t 例如,圆柱螺旋线 ω ωθ v 令 , bt == θ θ θ z b ay ax = = = sin cos 当 θ = π 时,2 h = 2π b x = a cos ω t y = asin ω t z = v t 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . y = y t)( z = z t)( θ M (The Parametric Equation of Space Curve)
例1（补充题）将下列曲线化为参数方程表示： (1) x2+y2=1 z=va2-x2-y2 2x+3z=6 2+y2-ax=0 解：(1)根据第一方程引入参数，得所求为 x=coSt y=sint (0≤t≤2π) (z=3(6-2c0st) (②)将第二方程变形为(Gx-)2+y2=,故所求为 rx=号+号cost y=gsint (0≤t≤2π) (=av-cost 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ 632 1 )1( 22 zx yx ⎩ ⎨ ⎧ =−+ −−= 0 )2( 22 222 xayx yxaz 解 : (1) 根据第一方程引入参数 , x = cos t y = sin t )cos26( 3 1 z = − t (2) 将第二方程变形为 )( , 4 22 2 2 a a yx =+− 故所求为 得所求为 x t aa cos 22 = + ty a sin 2 = costaz 2 1 2 1 −= ≤ t ≤ π )20( ≤ t ≤ π )20( 例 1（补充题）将下列曲线化为参数方程表示: