第六章 第二节数量积向量积*混合积 (Scalar Product Vector Product Mixed Product of Vectors) 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积* 四、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第二节 数量积 向量积 *混合积 第六章 （Scalar Product 、Vector Product & Mixed Product of Vectors ） 四、小结与思考练习 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 *
一、两向量的数量积 引例设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W=F3 cos0 1.定义 设向量d,b的夹角为0，称 M 石61cos0记作 ab W=F.s 为a与b的数量积（点积）. 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 M 1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 θ 的直线移动, θ W = 1. 定义 设向量 的夹角为 θ ,称 记作 数量积 (点积) . 引例 设一物体在常力 F 作用下, F 位移为 s , 则力 F 所做的功为 sF cos θ G W sF G = ⋅ M 2 a b cos θ a⋅ b 为 a 与 b 的 a, b s
当a≠0时，b在a上的投影为 万cos0记作Pri,6 故 a-B=aPrjdb 同理，当b≠0时， a.b=bPrjra 2.性质 a≠0，b≠0 (1)a.a=a 则a.b=0 (2)a,b为两个非零向量，则有 a.b=0-aLb (d,= 2 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 θ 当 时,0G G a ≠ 在ab 上的投影为 G G 记作 故 同理 时当 ,0, G G b ≠ a b G b jrP 2. 性质 为两个非零向量, 则有 Prj a b cos θ G b ba =⋅ jrP a G ba ba =⋅ )1( aa =⋅ 2 a ,)2( ba ba =⋅ 0 ⊥ ba b a 则 ⋅ba = 0 2 π ba ),( = ≠ ba ≠ 0,0
3.运算律 (1)交换律a.b=bd (2)结合律(2,4为实数) a (2a)b=a.(2万)=(db) (a+b) (2a)(ub)=(ad·(ub) =元u(a.b) Prje a Prjcb (3)分配律(d+b)c=d:d+b元 Prjz(@+b) 事实上，当c=可时，显然成立；当c≠0时 (@+b).c=cPrjc(a+B)=Gl(Prjc@+PrjzB) =Prjea+c Prjeb=a.c+b.c 2009年7月3日星期五 4 目录上页> 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 (1) 交换律 (2) 结合律 λ μ为实数),( ⋅ = ⋅ abba λ )( ⋅ba = ⋅ λ ba )( = λ ⋅ba )( λ ⋅ μ ba )()( = λ ( ⋅ μ ba )( ) = λ μ ⋅ba )( (3) 分配律 ( + )⋅ = ⋅ + ⋅ cbcacba 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当 c ≠ 0 时 c ( ) a b + b a b c a rP j G c rP j G ( + )⋅ cba ( ba ) c = c jrP + = c ( ba ) c c P r j G + P r j G = c jrP c G a + c jrP c G b = ⋅ ca + ⋅ cb Prj ( ) c G a b + 3. 运算律
例1证明三角形余弦定理 c2 a2+b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b cP=(d-d3)=dd+6-万-2à万 a+B2-2a Bleoso a=a,b=b,c=|ol c2 a2+b2-2abcos0 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 A B C θ a b c cos2 θ 222 = + − abbac 证 : 则 cos2 θ 222 = + − abbac 如图 . 设 C B = a, C = bA , A B = c = − bac = 2 c − ⋅ − baba )()( = ⋅ aa + ⋅bb − 2 ⋅ba 2 = a 2 + b − ba cos2 θ = = , = ccbbaa 例1 证明三角形余弦定理