《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第六章 共形映射 6.3_分式线性映射

86.3分式线性映射HT二、分式线性映射的分解第六章2.旋转映射Vw=eiz，（,为实数)共形映射令 z=zlei,CWi(0+00)则有 w=|z[eZC它将点集（点、曲线、区域等旋转一个角度当.>0时，沿逆时针旋转；当%<0时，沿顺时针旋转6

6 第六章共形映射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 2. 旋转映射 旋转一个角度 .  0 它将点集 ( 点 、曲线 、区域等) , 0 w e z i  = (  0 为实数) 令 | |e , i z = z 则有 | | . ( ) 0 e  + = i w z 当  0  0 时，沿逆时针旋转； 当  0  0 时，沿顺时针旋转

S6.3分式线性映射HU二、分式线性映射的分解第六章3.相似映射LXiSonglw=rz，（r为正数)共形映射W令 z=|zlei?， 则有 w=rlzleigZ其特点是保持点的辐角不变，1但模扩大（或缩小）r倍。它将曲线或者区域相似地扩大（或缩小）r倍。特别适合于过原点（或含原点）的曲线或区域7

7 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 3. 相似映射 其特点是保持点的辐角不变， w = rz, (r为正数) 令 | |e , i z = z 则有 | |e . i w = r z 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。 特别适合于过原点(或含原点)的曲线或区域

86.3分式线性映射HU二、分式线性映射的分解第六章14.反演（或倒数)映射W=Z.W,共形映射pi(-0)令z=zlei，则有W0ZAxw它将单位圆内（或外）的点映射到单位圆外（或内），且辐角反号如图，反演（或倒数）映射通常还可以分为两步来完成：(1)将z映射为wi,满足 wi/=argw,=argz;[z] (2)将 w,映射为w,满足 Iwl=[wil, arg w=-argwi.8

8 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 单位圆外(或内)，且辐角反号。 二、分式线性映射的分解 4. 反演(或倒数)映射 它将单位圆内(或外)的点映射到 令 | |e , i z = z w = z 1 则有 . ( ) e i − w = |z| 1  − 如图，反演(或倒数)映射通常还可以分为两步来完成： (1) 将 z 映射为 , w1 满足 | | , w1 = |z| 1 arg arg ; 1 w = z (2) 将 w1 映射为 w , 满足 | | | |, w = w1 arg arg . w = − w1

86.3分式线性映射H二、分式线性映射的分解第六童5.两个特殊的对称映射XaSongh圆周对称的概念共形映射定义设某圆周C的半径为R，1P145A.B两点位于从圆心OR定义6.30出发的射线上(如图)，且BAOA·OB=R2，则称A和B是关于圆周C对称的。自然地，规定圆心0与无穷远点关于该圆周对称89

9 第 六 章 共 形 映 射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 圆周对称的概念 定义 设某圆周C 的半径为R， 则称 A 和 A, B 两点位于从圆心O 5. 两个特殊的对称映射 自然地，规定圆心O与无穷远点  关于该圆周对称。 C A B R O B是关于圆周C 对称的。 出发的射线上(如图)，且 , 2 OAOB = R T P145 定义 6.3

86.3分式线性映射二、分式线性映射的分解第六章5.两个特殊的对称映射W(1)关于单位圆周的对称映射共形映射1io令 z=lzlei，则有PWZ即 /w|=argw=argz;ZW=z(2）关于实轴的对称映射令 z=zlei,则有w=lzlei(-0)即 [w|=lzl, argw=-argz.Z10

10 第六章共形映射 §6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解 5. 两个特殊的对称映射 (1) 关于单位圆周的对称映射 w = z1 令 | |e , i z = z 则有 e . i  w = | z | 1 |w| = , | z | 1 即 arg w = arg z; (2) 关于实轴的对称映射 w = z 令 | |e , i z = z 则有 | | . ( ) e − = i w z 即 |w| = |z|, argw = −arg z. z w zz