第七章 第七为 常系数齐次我性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常系数齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七节 第七章
二、二阶线性微分方程 y”+p(x)y'+q(x)y=f(x),为二阶线性微分方程 f(x)≡0时，称为齐次方程 f(x)丰0时，称为非齐次方程， 复习：一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x) 通解y=Ce-Px+eP)a0(x)edx 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
为二阶线性微分方程. y + p( x) y + q( x) y = f ( x), 时, 称为非齐次方程 ; f ( x) 0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y + P( x) y = Q( x) 通解: − + e Q x e x P x x P x x ( ) d ( ) d ( ) d − = P x x y C e ( ) d 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y f ( x) 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的解 y”+py'+qy=0(p,q为常数) 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子 所以令①的解为y=ex(r为待定常数)，代入①得 (r2+pr+q)e"x=0 >r2+pr+9=0 ② 称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束
二阶常系数齐次线性微分方程的解 r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入①得 ( ) 0 2 + + = r x r p r q e 0 2 r + pr + q = 称②为微分方程①的特征方程, ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
y”+py'+9y=0(p,q为常数) 令y=e'x (r2+pr+g)e"x=0r2+pr+q=0 1.当p2-4q>0时◆有两个相异实根1,2， 微分方程有两个线性无关的特解=e1x,y2=ex, 因此微分方程的通解为 y=C1enx+C2ex HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
r x y = e ( ) 0 2 + + = r x r p r q e 0 2 r + pr + q = 1. 当 4 0 2 p − q 时, 有两个相异实根 微分方程有两个线性无关的特解: 因此微分方程的通解为 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令
r2+pr+q=0* 2.当p2-4q=0时，幸有两个相等实根1=乃=号 微分方程有一个特解，=e1x. 设另一特解y2=y4(x)=exu(x)(u(x)待定 代入方程y+Py+9y=0得 è[(aw”+2r+r2a)+p(u'+ru)+9u]=0 u”+(21+p)u'+(+pn+q)u=0 注意h是的重根 u”=0取u=x,则得y2=xe1x 因此原方程的通解为y=(C1+C2x)e1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 当 4 0 2 p − q = 时, 有两个相等实根 微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程 [ 1 r x e ( ) 1 ( 2 ) + p u + r u + q u = 0 2 1 1 u + r u + r u 是 的重根 u = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( 2 ) ( ) 0 1 2 u + r1 + p u + r1 + p r + q u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 r + pr + q = 得