提问学生：通过线上预习，有哪些收获？检验线上预1、不可约多项式的定义。2、因式分解及唯一性定理的内容。习效果，方便线有针对性讲要刻画多项式的结构，就需要知道构成多项式的基本材料是什么，我下授新课。们知道构成物质的基本材料是原子，构成整数的基本材料是质数（或素导数），它们为什么叫基本材料呢？就是不能再分了，对数域P上的一元多项式而言，不能再分的多项式就是所谓的不可约多项式，那么什么叫入做不可约多项式呢？我们看质数的特点：①质数是大于1的整数：②质课数没有真因数，即质数的正约数只有1和它本身，换句话说质数不能分解成两个比它都小的正整数之积，类比质数我们可以给出不可约多项式程这个概念，但要注意不可约多项式与考虑的数域有关。1.不可约多项式(1）不可约多项式的定义：设p(x)是数域P上的一个次数大于等于1的多项式，如果p(x)不能分解为数域P上的两个次数比它的次数都低的多项式的乘积，就称p(αx)为数域P上的一个不可约多项式。线注：①设f(x)eP[x]，且a(f(x))=n>1，则f(x)在数域P上可约下引导学生举指的是：存在q(x),q2(x)eP[x]，且1≤q(x)<n,1≤q2(x)<n，使讲出反例，培养科学探索精得(x)=q(x)q2(x)，即f(x)在数域P上可约当且仅当f(x)能表成授神。数域P上的两个次数比f(x)的次数都低的多项式的乘积。新②数域P上的一次多项式都是P上的不可约多项式：课③不可约多项式与所考虑的数域有关。例1：x2-3在有理数域上不可约，但在实数域上可约。（2）不可约多项式的性质设p(x)为数域P上的一个不可约多项式。性质1：p(x)的因式只能是c和cp(x)，其中c是P中的任意非零常数。性质2：对任意0±ceP，cp(x)都是数域P上的不可约多项式。性质3：对数域P上的任一多项式f(x)，必有(p(x),f(x))=1或者p(x)|f(x)，二者必居其一。31
31 线 下 导 入 课 程 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1、 不可约多项式的定义。 2、 因式分解及唯一性定理的内容。 要刻画多项式的结构，就需要知道构成多项式的基本材料是什么，我 们知道构成物质的基本材料是原子，构成整数的基本材料是质数（或素 数），它们为什么叫基本材料呢？就是不能再分了， 对数域 P 上的一元 多项式而言， 不能再分的多项式就是所谓的不可约多项式，那么什么叫 做不可约多项式呢？我们看质数的特点：① 质数是大于 1 的整数；② 质 数没有真因数， 即质数的正约数只有 1 和它本身，换句话说质数不能分 解成两个比它都小的正整数之积， 类比质数我们可以给出不可约多项式 这个概念，但要注意不可约多项式与考虑的数域有关。 检 验 线 上 预 习效果，方便 有 针 对 性 讲 授新课。 线 下 讲 授 新 课 1. 不可约多项式 （1）不可约多项式的定义: 设 p x 是数域 P 上的一个次数大于等于 1 的多项式，如果 p x 不能分解为数域 P 上的两个次数比它的次数都低的 多项式的乘积，就称 p x 为数域 P 上的一个不可约多项式。 注：① 设 f (x) Px ，且 f (x) n 1 ，则 f (x) 在数域 P 上可约 指的是：存在 q1 x,q2 x Px ，且1 q1 x n,1 q2 x n ，使 得 f x q1 x q2 x ，即 f (x) 在数域 P 上可约当且仅当 f (x) 能表成 数域 P 上的两个次数比 f (x) 的次数都低的多项式的乘积。 ② 数域 P 上的一次多项式都是 P 上的不可约多项式； ③ 不可约多项式与所考虑的数域有关。 例 1： 2 x 3 在有理数域上不可约，但在实数域上可约。 （2）不可约多项式的性质: 设 p x 为数域 P 上的一个不可约多项式。 性质 1：p x 的因式只能是c 和cp x ，其中c 是 P 中的任意非零常数。 性质 2：对任意0 c P ，cp(x) 都是数域 P 上的不可约多项式。 性质 3：对数域 P 上的任一多项式 f (x) ，必有 p(x), f (x) 1 或者 p(x) f (x) ，二者必居其一。 引导学生举 出反例，培养 科学探索精 神
学生分组讨性质 4:设f(x),g(x)e P[x]，若p(x)f(x)g(x)，则必有 p(x)[f(x)或论，给出性质证明，培养合者 p(x)|g(x) 。作学习精神。性质4的推广：若p(x)f(x)f(x).f.(x)(s≥2)，则p(x)至少可整除f(x),J(x),",f,(x)其中之一。（3），不可约多项式的判别方法1：反证法：假设可约，导出矛盾；方法2：设p(x)数域P上次数大于等于1的多项式，要证明p(x)为数域用实例讲授概念。P上的不可约多项式，只需证明它的因式要么是0≠ceP，要么是cp(x),0±cEP。例2:设p(x)为数域P上的不可约多项式，证明：对任意0+ceP，cp(x)都是数域P上的不可约多项式（性质2)。证明：因p(x)为数域P上的不可约多项式，所以p(x)是数域P上次数≥1的多项式，而a(cp(x))=α(p(x))，推出cp(x)也是数域P上次数≥1的多项式。设q(x)是cp(x)的任意一个因式，那么q(x)也是p(x)的因式，而p(x)不可约，因此0q(x)=c'eP，或者q(x)=cp(x),0c'eP，后者有q(x)==(cp(x),0c'P，即cp(x)的因式要么是数域P中的非零常数（零次多项式)，要么是cp(x)的非零常数倍（非零常数在数域P中），因此命题成立。2.因式分解及唯一性定理（1）因式分解及唯一性定理：数域P上的每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。所谓的唯联系素数的一性是说，如果有两个分解式因式分解，认f (x)=p(x)p2 (x)--p, (x)=q (x)q2 (x)--q, (x)识到“事物的普遍联系”的那么必有S=t，并且适当排列因式的次序后有哲学思想。p.(x)=c,q,(x),i=1,2,,s，其中c.(i=1,2,,s)是一些非零常数。32
32 性质 4：设 f (x), g(x) P[x] ，若 p(x) f (x) g(x) ，则必有 p(x) f (x) 或 者 p(x) g(x) 。 性质 4 的推广：若 p(x) f1(x) f2 (x) f s(x) s 2 ，则 p(x) 至少可整除 1 2 ( ), ( ), ( ) s f x f x , f x 其中之一。 （3）. 不可约多项式的判别 方法 1：反证法：假设可约，导出矛盾； 方法 2：设 p(x) 数域 P 上次数大于等于 1 的多项式，要证明 p(x) 为数域 P 上的不可约多项式，只需证明它的因式要么是 0 c P ，要么是 cp(x),0 c P 。 例 2：设 p(x) 为数域 P 上的不可约多项式，证明：对任意0 c P ，cp(x) 都是数域 P 上的不可约多项式（性质 2）。 证明：因 p(x) 为数域 P 上的不可约多项式，所以 p(x) 是数域 P 上次数 1的多项式，而 cp(x) p(x) ，推出cp(x) 也是数域 P 上次数1 的多项式。设 q x 是 cp(x) 的任意一个因式，那么 q x 也是 p(x) 的因 式 ， 而 p(x) 不 可 约 ， 因 此 0 q x c P ， 或 者 q x cp x ,0 c P ，后者有 ,0 c q x cp x c P c ，即 cp(x) 的因式要么是数域 P 中的非零常数（零次多项式），要么是cp(x) 的 非零常数倍（非零常数在数域 P 中），因此命题成立。 2. 因式分解及唯一性定理 （1）因式分解及唯一性定理： 数域 P 上的每一个次数 1 的多项式 f x 都可以唯一地分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积。所谓的唯 一性是说，如果有两个分解式 f x p1 x p2 x ps x q1 x q2 x qt x 那 么 必 有 s t ， 并 且 适 当 排 列 因 式 的 次 序 后 有 1 2 i i i p x c q x ,i , ,,s ，其中 ci i 1, 2,,s 是一些非零常数。 学生分组讨 论，给出性质 证明，培养合 作学习精神。 用 实 例 讲 授 概念。 联系素数的 因式分解，认 识到“事物的 普遍联系”的 哲学思想
注：因式分解及唯一性定理说明数域P上的每一个次数≥1的多项式在数域P上都有不可约因式。即如果(x）是数域P上的任意一个次数≥1的多项式，那么一定存在数域P上的一个不可约多项式p(x)，使得p(x)f(x)。标准分解式（2）标准分解式：体现了“殊途设f(x)eP[x],a(f(x)≥1，f(x)的标准分解式为：同归”的哲学原理f(x)=ap (x)" p2 (x)". px (x)其中p (x),Pz(x),,P(x)是f(x)在数域P上的所有互异的首项系数是1的不可约因式，k,r，r都是正整数。例3：实系数多项式f(x)在实数域R上的不可约分解式为：(片x +)(4x +2)(2x-2)(3x -3)(2x-f(x)=(3x2 + 5)24x220)((5x+15)f(x)在R上的标准分解式为：(t) =360( r+)x?+) (x+3)(x-1新对《高等代数选讲》中的一道真题“一题多解”，理解定理的本质及应知用。通过学生讨论培养其团X队意识展本节讲授了：小不可约多项式的概念、性质和判别方法；②因式分解及唯一性定理；结③标准分解式33
33 注：因式分解及唯一性定理说明数域 P 上的每一个次数 1的多项式在数 域 P 上都有不可约因式。即如果 f x 是数域 P 上的任意一个次数 1的 多项式，那么一定存在数域 P 上的一个不可约多项式 p(x) ，使得 p x f x 。 （2）标准分解式： 设 f x Px, f x 1， f x 的标准分解式为： 1 2 1 2 k r r r k f x ap x p x p x 其中 p1 x, p2 x ,, pk x 是 f x 在数域 P 上的所有互异的首项系 数是 1 的不可约因式， 1 , , , k k r r 都是正整数。 例 3：实系数多项式 f x 在实数域 R 上的不可约分解式为： 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 2 2 3 3 3 5 2 4 2 2 20 4 5 15 3 f x x x x x x x x x f x 在 R 上的标准分解式为： 2 2 3 2 1 2 5 360 1 3 2 3 f x x x x x 标准分解式 体现了“殊途 同归”的哲学 原理 新 知 扩 展 对《高等代数选讲》中的一道真题“一题多解”，理解定理的本质及应 用。 通过学生讨 论培养其团 队意识 小 结 本节讲授了： ① 不可约多项式的概念、性质和判别方法； ② 因式分解及唯一性定理； ③ 标准分解式
1、已知(f(x)g(x),f(x)+g(x))=1，证明：(f(x),g(x))=1;考查定义的思考理解2.举例说明如果p(x)在数域P上可约，那么不可约多项式的性质1、性与练质3、性质4都不成立。习《高等代数选讲》本节课相应的典型例题。作业1、本节课与素数的分解联系极大，“类比教学法”取得较好的教学效果。2、通过提问发现，学生对不可约多项式的性质证明存在困难。需加强引教导和督促。学3、学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形反成了较为浓厚的线上学习氛围。思34
34 思 考 与 练 习 1、已知 f (x)g(x), f (x)+g(x) 1 ，证明： f (x), g(x) 1； 2. 举例说明如果 p x 在数域 P 上可约，那么不可约多项式的性质 1、性 质 3、性质 4 都不成立。 考 查 定 义 的 理解 作 业 《高等代数选讲》本节课相应的典型例题。 教 学 反 思 1、本节课与素数的分解联系极大，“类比教学法”取得较好的教学效果。 2、通过提问发现，学生对不可约多项式的性质证明存在困难。需加强引 导和督促。 3、学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形 成了较为浓厚的线上学习氛围
授课题目1.6重因式教学时数2学时1、了解重因式的定义。线上预习目标2、了解重因式的判别。1、熟悉重因式的概念，熟练掌握k重因式的判定方法。教学目标2、培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。1、理解“抽象与具体”的哲学思想。思政目标2、通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理。3、通过课堂讨论培养激励学生合作意识。重因式的概念及求法。教学重点教学难点重因式的定义及判定线上线下混合式教学（线上0.8学线上线下混合式教学教学方法教学手段时+线下1.2学时）（线上自制知识点总结微课+线上（0.8学时）线上自制习题讲解微课+线下多媒体教学）（1）预习自建微课视频（2）线上随堂练习或线上预习测试线下（1.2学时）：讨论式（师生讨论）引导式、示范启发式35
35 授课题目 §1.6 重因式 教学时数 2 学时 线 上 预 习 目标 1、了解重因式的定义。 2、了解重因式的判别。 教学目标 1、 熟悉重因式的概念，熟练掌握 k 重因式的判定方法。 2、 培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。 思政目标 1、 理解 “抽象与具体”的哲学思想。 2、 通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理。 3、通过课堂讨论培养激励学生合作意识。 教学重点 重因式的概念及求法。 教学难点 重因式的定义及判定 教学方法 线上线下混合式教学（线上 0.8 学 时+线下 1.2 学时） 线上（0.8 学时） （1）预习自建微课视频 （2）线上随堂练习或线上预习测 试 线下（1.2 学时）：讨论式（师生讨 论）引导式、示范启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学）