|g(+)=X*+x* -x-1 [(g)=x*+* -3x2 -4x-1|9()=xq2 (x)1r+2x+x-x-x_8x+4r(x)= -2x* -3x1g:(x):3++-2x2-2x-X-144-x-132(x)r(x)=0#4用等式表示：f(x)=q(x)g(x)+r(x)g(x)=q2(x)r(x)+r(x)r(x)=q(x)r(x)+0则r(t)=-3x-3就是f(x)与g(x)的一个最大公因式。4″4r(x)= g(x)+(-q2(x)r(x)=g(x)+(-q2(x))(f(x)+ (-qi(x))g(x))采用“类比教=(-q2(x) f(x)+(1+q(x)q2(x))g(x学法”，引导学生比较“多注: (f(x),g(x))= x+1 。项式互素”与“整数互素”2.多项式的互素的联系，认识（1）多项式互素的定义到“事物的普设f(x)，g(x)e P[x),若(f(x),g(x))=1,则称f(x)与g(x)互素,遍联系”的哲学思想。此时只有零次多项式是它们的公因式。（2）多项式互素的判定方法P[x] 中的多项式f(x)与g(x)互素当且仅当存在u(x)v(x)e P[x]，使得:u(x)f(x)+v(x)g(x)=13.多项式互素的性质性质 1: 若 f(x)|g(x) h(x)且(f(x),g(x)=1 , 则 f(x)|h(x)。性质 2: 若(x)g(x),h(x)|g(x)且(f(x),h(x))=1, 则 f(x)h(x)|g(x)。26
26 3 2 4 3 2 1 2 3 2 4 3 2 2 2 1 3 2 2 2 3 1 3 4 1 1 1 2 4 3 1 2 2 1 3 8 4 1 2 3 1 2 2 3 3 2 2 1 3 1 1 2 4 4 1 3 3 4 0 4 q x x g x x x x f x x x x x q x x x x x x x x x x x r x x x q x x x x x x x x r x x r x 用等式表示： 1 1 f (x) q (x)g(x) r (x) 2 1 2 g(x) q (x)r (x) r (x) 1 3 2 r (x) q (x)r (x) 0 则 2 3 3 4 4 r x x 就是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式。 2 2 1 r (x) g(x) q (x) r (x) g(x) q2 (x) f (x) q1(x)g(x) q2 (x) f (x) 1 q1(x)q2 (x)g(x) 注： f (x), g(x) x 1。 2. 多项式的互素 （1） 多项式互素的定义 设 f (x) ，g(x) P[x] ，若 f (x),g(x) 1，则称 f (x) 与 g(x) 互素， 此时只有零次多项式是它们的公因式。 （2）多项式互素的判定方法 P[x] 中的多项式 f (x) 与 g(x) 互素当且仅当存在 u(x) ， v(x) P[x] ，使得： u(x)f (x)+v(x)g(x)=1 3. 多项式互素的性质 性质 1：若 f (x) g(x) h(x) 且 f (x),g(x) 1，则 f (x) h(x) 。 性质 2：若 f (x) g(x) ，h(x) g(x) 且 f (x),h(x) 1，则 f (x)h(x) g(x) 。 采用“类比教 学法”，引导 学生比较“多 项式互素”与 “整数互素” 的联系，认识 到“事物的普 遍联系”的哲 学思想
性质 3：(f(x)g(x))=1当且仅当(f(x)g(x),f(x)+g(x))=1 ;性质4：(f(x),g(x))=1 且 (h(x),g(x))=1 当且仅当(f(x)h(x), g(x) =1 :性质5：若(f(x),g(x))=1，则对任意整数m，有("(x), g"(x)=1, 且(f(x"), g(x"))=1多个多项式的最大公因式定义i(x),J(x),",f,(x)eP[) (s≥2)若d(x)EP[x]满足i) d(x)f(x), i=1,2,,si)Vq(x)eP[x], 若(x)(x),i=1,2,",s则 (x)a(x).新则称d(x)为Ji(x)J(x),J()的最大公因式将本节课两知个多项式的注：最大公因式扩①Ji(x),(x),",J(x）的最大公因式一定存在推广到多个。(f(x),f(x),f(x))表示首1最大公因式展②u,u.u,eP[x], 使(i, .f.)ufi..+u,f..?(i..)-((i..J.),)=((U,,f),(e,"J), 1≤k≤s-1④JiJa,.",,互素台u,u,,u,P[x],使ui+...+u,J,=1.本节讲授了：①两个多项式最大公因式的概念和性质；②两个多项式最大公因式的求法；结③两个多项式互素的概念和性质。27
27 性质 3： f (x),g(x) 1当且仅当 f (x)g(x),f (x)+g(x) 1； 性 质 4 ： f (x), g(x) 1 且 h(x), g(x) 1 当 且 仅 当 f (x)h(x), g(x) 1； 性质 5：若 f (x), g(x) 1 ，则对任意整数 m ，有 ( ), ( ) 1 m m f x g x ，且 ( ), ( ) 1 m m f x g x 新 知 扩 展 将本节课两 个多项式的 最大公因式 推广到多个。 小 结 本节讲授了： ① 两个多项式最大公因式的概念和性质； ② 两个多项式最大公因式的求法； ③ 两个多项式互素的概念和性质
1.若d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么对任意ceP，考查定义的思理解考cd(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。与练2. 设f(x)=3x3 +2x-1,g(x)=-3x +x2 +7, 求((x),g(x))。习3. 设(f(x),g(x)=1, 证明(f(x)+g(x),g(x)+5f (x)=1 。书后44页5-7，45页8-14作业1、本节课与整数理论联系极大，“类比教学法”取得较好的教学效果。2、通过提问发现，学生对辗转相除法的本质理解不透彻。需加强引导和教督促。学3、最大公因式的求法必须动手演练才能掌握本质。反4、学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形思成了较为浓厚的线上学习氛围。28
28 思 考 与 练 习 1. 若 d x 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式，那么对任意 c P ， cd x 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式。 2. 设 3 3 2 f x 3x 2x 1, g x 3x x 7 ，求 f x, g x 。 3. 设 f x, g x 1，证明 f x g x , g x 5 f x 1 。 考 查 定 义 的 理解 作 业 书后 44 页 5-7，45 页 8-14 教 学 反 思 1、本节课与整数理论联系极大，“类比教学法”取得较好的教学效果。 2、通过提问发现，学生对辗转相除法的本质理解不透彻。需加强引导和 督促。 3、最大公因式的求法必须动手演练才能掌握本质。 4、学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形 成了较为浓厚的线上学习氛围
授课题目教学时数2学时S1.5因式分解定理1、了解不可约多项式的定义线上预习目标2、了解因式分解定理的内容。1、熟悉因式分解定理的内容，了解标准分解式的概念。教学目标2、培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。“抽象与具体”的哲学思想。1、思政目标2、通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理。3、通过课堂讨论培养激励学生合作意识。不可约多项式的概念、因式分解及唯一性定理。教学重点教学难点因式分解及唯一性定理的证明。线上线下混合式教学（线上0.8学线上线下混合式教学教学方法教学手段时+线下1.2学时）（线上自制知识点总结微课+线上（0.8学时）线上自制习题讲解微课+线下多媒体教学）（1）预习自建微课视频（2）线上随堂练习或线上预习测试线下（1.2学时）：讨论式（师生讨论）引导式、示范启发式29
29 授课题目 §1.5 因式分解定理 教学时数 2 学时 线 上 预 习 目标 1、了解不可约多项式的定义 2、了解因式分解定理的内容。 教学目标 1、 熟悉因式分解定理的内容，了解标准分解式的概念。 2、 培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。 思政目标 1、 “抽象与具体”的哲学思想。 2、 通过概念类比理解事物普遍联系的哲学原理。 3、通过课堂讨论培养激励学生合作意识。 教学重点 不可约多项式的概念、因式分解及唯一性定理。 教学难点 因式分解及唯一性定理的证明。 教学方法 线上线下混合式教学（线上 0.8 学 时+线下 1.2 学时） 线上（0.8 学时） （1）预习自建微课视频 （2）线上随堂练习或线上预习测 试 线下（1.2 学时）：讨论式（师生讨 论）引导式、示范启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学）
教学过程设计意图教师：（线上教学准备）线1学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频1.学生带着问题学习视频课，课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设使学生把握重点，有的放矢，计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。提高预习效果。检验预习效果上教学过学生：（线上学习内容）程2.学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师2、3.通过视频课预习，提前生共同讨论了解本节课内容，加深知识点3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测理解。验题教师：（线上教学总结）4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完14、5.通过预习测验题的扇形成率达百分之百。统计图，了解学生的知识点掌5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解握情况，使线下教学更有针对性。学生知识点掌握情况。30
30 教学过程 设计意图 线 上 教 学 过 程 教师：（线上教学准备） 1.学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频 课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设 计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 学生：（线上学习内容） 2. 学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课 的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师 生共同讨论 3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测 验题 教师：（线上教学总结） 4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务 点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完 成率达百分之百。 5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解 学生知识点掌握情况。 1.学生带着问题学习视频课， 使学生把握重点，有的放矢， 提高预习效果。检验预习效果 2、3.通过视频课预习，提前 了解本节课内容，加深知识点 理解。 4、5.通过预习测验题的扇形 统计图，了解学生的知识点掌 握情况，使线下教学更有针对 性