教学过程设计意图教师：（线上教学准备）线1.学生带着问题学习视频课，1学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设使学生把握重点，有的放矢，提高预习效果。计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。上检验预习效果教学过学生：（线上学习内容）程2.学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师生共同讨论2、3.通过视频课预习，提前3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测了解本节课内容，加深知识点验题理解。教师：（线上教学总结）4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完4、5.通过预习测验题的扇形成率达百分之百。5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解统计图，了解学生的知识点掌学生知识点掌握情况。握情况，使线下教学更有针对性。36
36 教学过程 设计意图 线 上 教 学 过 程 教师：（线上教学准备） 1.学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频 课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设 计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 学生：（线上学习内容） 2. 学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课 的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师 生共同讨论 3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测 验题 教师：（线上教学总结） 4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务 点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完 成率达百分之百。 5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解 学生知识点掌握情况。 1.学生带着问题学习视频课， 使学生把握重点，有的放矢， 提高预习效果。 检验预习效果 2、3.通过视频课预习，提前 了解本节课内容，加深知识点 理解。 4、5.通过预习测验题的扇形 统计图，了解学生的知识点掌 握情况，使线下教学更有针对 性
提问学生：通过线上预习，有哪些收获？线检验线上预1、重因式的定义。下2、重因式的求法。习效果，方便有针对性讲由上一节可知，数域P上的任一次数≥1的多项式都可以唯一地分导授新课。解为数域P上一些不可约多项式之积，这是一个理论上的结果，给你入个具体的多项式，如果将其进行分解并没有一个统一的切实可行的方法，而下面要学习的重因式这个概念就与多项式的因式分解密切相关。课程例1：2x2+×+1，x2+2x+2，x-1，x+5，x2+1都是实数域R上的不可约多项式，f(x)=(2x* +x+1) (x2 +2x+2) (x -1)(x+5) e R[]那么(2x2+x+1)(x)，但(2x2+x+1)(x），于是我们称线2x2+x+1为f(x）的4重因式，同理×2+2x+2，x-1，x+5，×2+1引导学生由下例子给出定分别称为f(x)的2重因式、1重因式、3重因式、0重因式，且称义，培养科学讲探索精神。2x2+x+1、x2+2x+2、x+5为f(x)的重因式，x-1为f(x)的单因授式，x2+1不是f(x)的因式。新1.重因式的定义设f(x)eP[x]，p(x)是数域P上的不可约多项式，k为非负整数，学生分组讨课论，分析定义若p*(α) I f(x)，且pk+(x)+f(x)，则称p(x)是f(x)的k重因式。本质，培养合作学习精神。k=1时称p(x)为单因式，k>1时称p(x)为重因式，k=0时p(x)不是f(a)的因式（k也称为p(x)在f(x)中的重数)。注：①因为重因式本身一定是不可约因式，所以f(x)的重因式也和f(x)所在的数域有关；②在例1中，对任意0±ceR，c(2x2+x+1)、-1c(x+2x+2)、c(x-1)、c(x+5)、c(x+1)也分别是(x)的4重因式、2重因式、1重因式、3重因式、0重因式。2.多项式的微商（导数）(1）定义：设多项式(x)=a,x"+an-x"-+..+ax+a，规定它的37
37 线 下 导 入 课 程 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1、 重因式的定义。 2、 重因式的求法。 由上一节可知，数域 P 上的任一次数 1的多项式都可以唯一地分 解为数域 P 上一些不可约多项式之积，这是一个理论上的结果，给你 个具体的多项式，如果将其进行分解并没有一个统一的切实可行的方 法，而下面要学习的重因式这个概念就与多项式的因式分解密切相关。 检 验 线 上 预 习效果，方便 有 针 对 性 讲 授新课。 线 下 讲 授 新 课 例 1： 2 2x x 1 ， 2 x 2x 2 ， x 1， x 5， 2 x 1都是实数域 R 上 的不可约多项式， 4 2 3 2 2 f (x)= 2x x 1 x 2x 2 x 1 x 5 R x 那 么 4 2 2x x 1 f x ， 但 5 2 2x x 1 f x ， 于 是 我 们 称 2 2x x 1 为 f (x) 的 4 重因式，同理 2 x 2x 2 ，x 1，x 5， 2 x 1 分别称为 f (x) 的 2 重因式、1 重因式、3 重因式、0 重因式，且称 2 2x x 1 、 2 x 2x 2 、x 5为 f (x) 的重因式，x 1为 f (x) 的单因 式， 2 x 1不是 f (x) 的因式。 1. 重因式的定义 设 f (x) P[x] ， p(x) 是数域 P 上的不可约多项式，k 为非负整数， 若 ( ) k p x ︱ f (x) ，且 1( ) ( ) k p x f x ，则称 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式。 k 1时称 p(x) 为单因式， k 1时称 p(x) 为重因式， k 0 时 p(x) 不 是 f (x) 的因式（ k 也称为 p(x) 在 f (x) 中的重数）。 注：①因为重因式本身一定是不可约因式，所以 f (x) 的重因式也和 f (x) 所在的数域有关；②在例 1 中，对任意 0 cR ， 2 c 2x x 1 、 2 c x 2x 2 、c x 1 、 c x 5 、 2 c x 1 也分别是 f (x) 的 4 重 因式、2 重因式、1 重因式、3 重因式、0 重因式。 2. 多项式的微商（导数） （1）定义：设多项式 1 1 1 0 n n n n f x a x a x a x a ，规定它的 引导学生由 例子给出定 义，培养科学 探索精神。 学生分组讨 论，分析定义 本质，培养合 作学习精神
微商（也称导数）是f"(x)=a,nx"--+an-(n-1)x"-++a。（2）微商的基本公式：((x)+g(x) = f'(x)+g'(x)(cf () =cf (r)(()g(x) =f'(x)g(μ)+f (x)g'(x)(f" () =mf"-1 (g)"(x)（3）高阶微商"(μ)称为(x)的一阶微商，"()的微商F"()称为f()的二阶微商，等等。J(x)的k阶微商记为f(*)(μ)。3.重因式的性质设p(x)为数域P上的不可约多项式。性质1:p(x)是f(x)的k(≥1)重因式,则它是f(x)的k-1重因式。特联系函数的求导法则，理别地，f(x)的单因式不是(x)的因式。解形式微商，认识到“事物证明：由题设知f(x)=p(a)g(x)，且p(a)+g(x)，得：的普遍联系”的哲学思想。f(x)=kpk-(x)p' (x)g (x)+p*(x)g (x)=p*-(x)(kp (x)g (x)+ p(x)g* (x)知pk-l(x)f(x)。因p(x)是不可约多项式，且提问学生逆p(x)tg(x),p(x)tp'(x),p(x)+k ，所 以 p(x)tkp'(x)g(x) ,但命题是否成立，并提出问p(x) p(x)g (x),由整除的性质3 知 p(x) t(kp(x)g(x)+p(x)g (x))题：因此p*(a)+f"(x),因此p(x)是f(x)的k-1重因式，于是如果p(x)是1、不成立的反例：f(ax)的单因式，那么p(x)是f'(x)的0重因式，故此时p(x)不是f(a)2、成立加的的因式。条件。培养学生的性质 2 ：p(x)是f(x) 的k(≥1)重因式当且仅当p(x)是合作意识和探索精神。(x),(x),,(-1(x)的因式，但不是()(x)的因式。38
38 微商（也称导数）是 1 1 1 1 1 n n n n f x a nx a n x a 。 （2）微商的基本公式： f x g x f x g x cf x cf x f x g x f x g x f x g x m m 1 f x mf x f x （3）高阶微商 f x 称为 f x 的一阶微商，f x 的微商 f x 称为 f x 的二 阶微商，等等。 f x 的 k 阶微商记为 k f x 。 3. 重因式的性质 设 p(x)为数域 P 上的不可约多项式。 性质 1：p(x) 是 f (x) 的 k(1)重因式，则它是 f (x)的 k 1重因式。 特 别地， f (x) 的单因式不是 f (x)的因式。 证明：由题设知 ( )= ( )g k f x p x x ，且 p(x) g x ，得： 1 ( )= ( ) g ( )g k k f x kp x p x x p x x 1 = ( ) g ( )g k p x kp x x p x x 知 1( ) k p x f x 。 因 p(x) 是 不 可 约 多 项 式 ， 且 p(x) g x , p(x) px , p(x) k ， 所 以 p(x) kp x g x ， 但 p(x) p(x)g x ，由整除的性质 3 知 p(x) kp x g x p(x)gx ， 因此 ( ) k p x f x ，因此 p(x)是 f (x)的 k 1重因式，于是如果 p(x) 是 f (x) 的单因式，那么 p(x) 是 f (x)的 0 重因式，故此时 p(x) 不是 f (x) 的因式。 性 质 2 ： p(x) 是 f (x) 的 k(1) 重 因 式 当 且 仅 当 p(x) 是 ( 1) ( ) ( ) ( ) k f x , f x , , f x 的因式，但不是 ( ) ( ) k f x 的因式。 联系函数的 求导法则，理 解形式微商， 认识到“事物 的普遍联系” 的哲学思想。 提 问 学 生 逆 命 题 是 否 成 立，并提出问 题： 1、 不成立的 反例； 2、 成立加的 条件。 培 养 学 生 的 合 作 意 识 和 探索精神
性质3：p(x)是f(αx)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(α)与f'(x)的公因式，即p(x)(f(x),f"(α))。证明：设p(x)是f(x)的k重因式此证明用实充分性：因p(x)是f(x)的因式，所以k≥1，由性质1知p(x)是f(x)的例讲解，更易于理解。k-1重因式，又p(x)是f(x)的因式，推出k-1≥1=→k≥2,因此p(x)是f(x)的重因式。必要性：因p(x)是f(x)的重因式，所以k≥2=k-1≥1，又由性质1知p(x)是f(x)的k-1重因式，因此p(x)是f(x)的因式，推出p(x)是f(x)与f(x)的公因式。性质4：多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是((x),f(x))=1。证明：充分性：反证法，如果f(x)有重因式，设p(x)是f(x)的重因式,由性质3知p(x)是f(x)与f"(x)的公因式，与(f(x),f(x))=1矛盾，因此充分性成立。必要性：反证法：如果(f(x),f(x))+1，那么a((f(x),f(x))≥1，由提间重因式因式分解及唯一性定理知，有不可约多项式p(x)，使得的充要条件，培养学生归p(x)(f(x),f(x))，由性质3知p(x)是f(x)的重因式，与f(x)没有重纳总结的能力，培养学生因式矛盾，因此必要性成立。的自主学习性质5：诊设f(x)是数域P上次数大于等于1的多项式，则能力。f(x)h(x) =是一个没有重因式的多项式，但它与f(x)有完全(f(x), f(x))相同的不可约因式。即设(1.6.1)f(x)=ap"(x)p2(x).p(x)式(1.6.1)中的sr(i=1,2,,s)都是正整数，p(x)，P2(x)，，p,(a)是数域P上互不相同的首1的不可约多项式，α是f(x)的首项系数，则39
39 性质 3： p(x) 是 f (x) 的重因式的充分必要条件为 p(x) 是 f (x) 与 f (x) 的公因式，即 p(x) f (x), f (x) 。 证明：设 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式。 充分性：因 p(x)是 f (x) 的因式，所以 k 1，由性质 1 知 p(x) 是 f (x) 的 k 1重因式，又 p(x) 是 f (x) 的因式，推出 k 11 k 2 ，因此 p(x) 是 f (x) 的重因式。 必要性：因 p(x) 是 f (x) 的重因式，所以 k 2 k 11，又由性质 1 知 p(x)是 f (x)的 k 1重因式，因此 p(x) 是 f (x) 的因式，推出 p(x) 是 f (x) 与 f (x)的公因式。 性质 4：多项式 f (x) 没有重因式的充分必要条件是 f (x), f (x) 1。 证明：充分性：反证法，如果 f (x) 有重因式，设 p(x) 是 f (x) 的重因式， 由性质 3 知 p(x) 是 f (x) 与 f (x) 的公因式，与 f (x), f (x) 1矛盾， 因此充分性成立。 必要性：反证法：如果 f (x), f (x) 1 ，那么 f (x), f (x) 1，由 因 式 分 解 及 唯 一 性 定 理 知 ， 有 不 可 约 多 项 式 p(x) ， 使 得 p(x) f (x), f (x) ，由性质 3 知 p(x) 是 f (x) 的重因式，与 f (x) 没有重 因式矛盾，因此必要性成立。 性 质 5 ： 设 f (x) 是 数 域 P 上 次 数 大 于 等 于 1 的 多 项 式 ， 则 ( ) ( ) ( ) f x h x f x , f x 是一个没有重因式的多项式，但它与 f (x) 有完全 相同的不可约因式。 即设 1 2 1 2 ( )= ( ) ( ) ( ) s r r r s f x ap x p x p x （1.6.1） 式（1.6.1）中的 s,ri i 1,2,,s 都是正整数， 1 p (x)， 2 p (x) ，， ( ) s p x 是数域 P 上互不相同的首 1 的不可约多项式，a 是 f x 的首项系数，则： 此 证 明 用 实 例讲解，更易 于理解。 提 问 重 因 式 的充要条件， 培 养 学 生 归 纳 总 结 的 能 力，培养学生 的 自 主 学 习 能力
f(x)h(x)(1.6.2)=ap;(x)p(x) p (x)(f(x), f'(x))注：对比式（1.6.1）与式（1.6.2）可知，式（1.6.2）中的h(x）具有性质：（1）h(x)无重因式。提问学生分解式唯一(2）h(x)与f(x)有完全相同的不可约因式。吗？引出标准分解式的（3）a(h(x)≤a(f(x))，特别当(f(ax),f(x))±1 时，定义，引导学生给出，循循a(h(x)<0(f(x) 。善诱。因此，欲求f(α)的不可约因式，只需求h(x)的不可约因式。当(f(x),(x))±1，即f(a)与(x)不互素时，h(x)的次数比(x)的次数低，且(f(x),f(αx))的次数越高，h(x)的次数就越低，因而h(x)的分解就比f(x)的分解容易，h(x)的不可约因式相对地易求得。若求出了h(x)的不可约因式，那么这些不可约因式在f(x)中的重数很容易确定，这只需用带余除法，用这些不可约因式去除(f(x),F(x))即可。这种方法称为分离重因式法，可用来解决当(f(x),f(x))+1时的某些多项式f(x)的因式分解问题。例2:在实数域R上：(t)=360(x+)22.51于是在实数域R上，不可约多项式x?x-1、x2x+3分别325为()的2重、3重、2重、1重因式,因此x+、x-1、x2+是f(x)23的重因式，x+3是f(x)的单因式，而不是f(x)的重因式，进而知51x-1、x+、x+3分别为f(x)的1重、2重、1重、0重X32因式，故：f'(x)={x? +g (x40
40 1 2 ( ) ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s f x h x ap x p x p x f x , f x （1.6.2） 注：对比式（1.6.1）与式（1.6.2）可知，式（1.6.2）中的 h(x) 具有性质： （1） h(x) 无重因式。 （2） h(x) 与 f (x) 有完全相同的不可约因式。 （ 3 ） (h(x)) ( f (x)) ， 特 别 当 f (x), f (x) 1 时 ， (h(x)) ( f (x)) 。 因此，欲 求 f (x) 的不可约 因式，只需求 h(x) 的不可约 因式。当 f (x), f (x) 1 ，即 f (x) 与 f (x)不互素时， h(x) 的次数比 f (x) 的次 数低，且 f (x), f (x) 的次数越高，h(x) 的次数就越低，因而 h(x) 的分 解就比 f (x) 的分解容易， h(x) 的不可约因式相对地易求得。若求出了 h(x) 的不可约因式，那么这些不可约因式在 f (x) 中的重数很容易确定， 这只需用带余除法，用这些不可约因式去除 f (x), f (x) 即可。 这种方 法称为分离重因式法，可用来解决当 f (x), f (x) 1 时的某些多项式 f (x) 的因式分解问题。 例 2：在实数域 R 上： 2 2 3 2 1 2 5 360 1 3 2 3 f x x x x x 于是在实数域 R 上，不可约多项式 2 1 2 x 、 x 1、 2 5 3 x 、 x 3 分别 为 f (x) 的 2 重、3 重、2 重、1 重因式，因此 2 1 2 x 、x 1、 2 5 3 x 是 f (x) 的重因式， x 3 是 f (x) 的单因式，而不是 f (x) 的重因式，进而知 2 1 2 x 、 x 1、 2 5 3 x 、 x 3 分别为 f (x) 的 1 重、2 重、1 重、0 重 因式，故： 2 2 1 2 5 1 2 3 f x x x x g x 提 问 学 生 分 解 式 唯 一 吗 ？ 引 出 标 准 分 解 式 的 定义，引导学 生给出，循循 善诱