沈阳师范大学：《高等代数》课程授课教案（一，授课教师：黄影）

教学过程设计意图教师：（线上教学准备）线1.学生带着问题学习视频课，1、学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设使学生把握重点，有的放失，提高预习效果。计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。上检验预习效果教学过学生：（线上学习内容）程2.学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课2、3.通过视频课预习，提前的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师了解本节课内容，加深知识点生共同讨论理解。3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测验题教师：（线上教学总结）4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务4、5.通过预习测验题的扇形点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完统计图，了解学生的知识点掌成率达百分之百。握情况，使线下教学更有针对性。5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解学生知识点掌握情况。21

21 教学过程 设计意图 线 上 教 学 过 程 教师：（线上教学准备） 1、学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频 课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设 计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 学生：（线上学习内容） 2. 学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课 的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师 生共同讨论 3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测 验题 教师：（线上教学总结） 4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务 点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完 成率达百分之百。 5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解 学生知识点掌握情况。 1.学生带着问题学习视频课， 使学生把握重点，有的放矢， 提高预习效果。 检验预习效果 2、3.通过视频课预习，提前 了解本节课内容，加深知识点 理解。 4、5.通过预习测验题的扇形 统计图，了解学生的知识点掌 握情况，使线下教学更有针对 性

提问学生：通过线上预习，有哪些收获？线检验线上预1、最大公因式的定义。下2、最大公因式与一般的公因式之间的关系。习效果，方便有针对性讲导授新课。本章的目的是刻画多项式的结构，这就需要了解一个多项式与其它多项式入之间的关系，而两个多项式除了有无整除关系之外，两个多项式是否有非课平凡的公因式也能够反映两个多项式之间的联系。程1.最大公因式(1)公因式的定义：设c(x),f(x),g(x)都是数域P上的多项式，如果c(x)f(x)，且c(x)g(x)，就称c(μ)为f(x),g(x)的一个公因式。(2)最大公因式的定义：设f(x),g(x)eP[x]，若P[x]中的多项式d(x)满足：d(x)是f(x)与g(x)的公因式；f(x)与g(x)的公因式全是d(x)的线因式，则称d(x)为f(ax)与g(x)的一个最大公因式。下（3）最大公因式的存在性讲引理1：若g(x)f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；授引理2:如果f(x)=g(x)q(x)+r(x)，那么f(x),g(x)与g(x),r(x)有引理的证明新采用分组讨相同的公因式，即f(x),g(x)的公因式都是g(x),r(x)的公因式，论式，培养合课作意识。g(x),r(x)的公因式也都是f(x),g(x)的公因式（由公因式的定义以及整除的性质3可得),进而有f(x),g(x)的最大公因式一定是g(x),r(x)对最大公因式，反之亦然。定理2.4.1(x)与g(x)是P[x]中的任意两个多项式，那么一定存P[x]中的多项式d(x)是f(x)与g(x)，并且d(x)可表成f(x)与g(x)的组合，即存在P[x]中的多项式u(x)和v(x)，使得：d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x证明：先证明最大公因式的存在性。若是/(x)=g(x)=0，那么根据定义，(x)与g(x)的最大公因式就是0。假定/(x)与g(x)不都等于零，比方说，g(x)±0，应用带余除法，以g(x)22

22 线 下 导 入 课 程 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1、 最大公因式的定义。 2、 最大公因式与一般的公因式之间的关系。 本章的目的是刻画多项式的结构，这就需要了解一个多项式与其它多项式 之间的关系，而两个多项式除了有无整除关系之外，两个多项式是否有非 平凡的公因式也能够反映两个多项式之间的联系。 检 验 线 上 预 习效果，方便 有 针 对 性 讲 授新课。 线 下 讲 授 新 课 1. 最大公因式 （1）公因式的定义: 设 c  x, f  x , g x  都是数域 P 上的多项式，如果 c x f  x ，且c  x g  x ，就称c  x 为 f  x, g  x  的一个公因式。 （2）最大公因式的定义: 设 f (x),g(x) P[x] ，若 P[x]中的多项式 d(x) 满足：d(x) 是 f (x) 与 g(x) 的公因式；f (x) 与 g(x) 的公因式全是 d(x) 的 因式，则称 d(x) 为 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式。 （3）最大公因式的存在性 引理 1：若 g  x f  x ，那么 g  x 就是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式； 引理 2：如果 f (x)=g  x q x  r x  ，那么 f (x),g(x) 与 g(x),r(x) 有 相同的公因式，即 f (x),g(x) 的公因式都是 g(x),r(x) 的公因式， g(x),r(x) 的公因式也都是 f (x),g(x) 的公因式（由公因式的定义以及整 除的性质 3 可得），进而有 f (x),g(x) 的最大公因式一定是 g(x),r(x) 对最 大公因式，反之亦然。 定理 2.4.1 f (x) 与 g(x) 是 P[x]中的任意两个多项式，那么一定存 P[x] 中的多项式 d  x 是 f (x) 与 g(x) ，并且 d  x 可表成 f (x) 与 g(x) 的组 合，即存在 P[x]中的多项式u  x 和v  x ，使得： d  x  u  x  f(x) v x g(x) 证明：先证明最大公因式的存在性。 若是f(x)=g(x)=0，那么根据定义，f(x)与g(x)的最大公因式就是0。 假定f(x)与g(x)不都等于零，比方说，g(x)0，应用带余除法，以g(x) 引理的证明 采用分组讨 论式，培养合 作意识

除(x)，得商式q(x)及余式r(x)，如果r(x)0，那么再以r(x)除g(x)，得商式q2(x)及余式(x)。如果(α)0，再以(x)除(x)，如此继续下去，因为余式的次数每次降低，所以作了有限次这种带余除法后，必然得出这样一个余式r(x)，它整除前一个余式r-(x)，这样我们得到一串等式：J(x)=g(x)q (x)+r (x), ri()± 0g(x)=(x)q2 (x)+r2 (x). 2 (x)± 0ri(x)=r(x)q3 (x)+n (x), (x)±0引导学生自主寻找最大rk-3(x)= r-2 (x)qk- (x)+re- (x), rx- (x)± 0公因式，培养自主学习能k-2(x)=-1 (x)q (x)+ (x), (x) 0力。- (x)=r (x)k+ ()令d(x)=r(x)，对上述这一串等式从下到上运用引理1和引理2知d(x)=r (x)就是(x)与g(x)的一个最大公因式。去掉上述一串等式中的最后一个等式，即由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去r（x）rk-(x),.,r(x)，再并项就得到d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。（3）最大公因式的性质设P是一个数域，以下讨论都是在P[x]中进行的。性质1：若d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么对任意ceP，此处性质由cd(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。学生分组讨论完成，培养性质2：f(x)与g(x)的最大公因式彼此相互整除。合作学习意识。性质3：如果f(x)=g(x)=0，那么它们有唯一的最大公因式就是0：性质4：如果f(a)与g(x)不全为零，那么它们有无数个最大公因式，这些最大公因式都不等于零，但它们彼此只差一个非零常数倍，即若d(x)23

23 除f(x)，得商式 q1  x 及余式 r1  x ，如果 r1  x  0 ， 那么再以 r1  x 除 g(x)，得商式 q2  x 及余式 r2  x 。如果 r2  x  0 ，再以 r2  x 除 r1  x ， 如此继续下去，因为余式的次数每次降低，所以作了有限次这种带余除法 后，必然得出这样一个余式 rk  x ，它整除前一个余式 rk 1  x ，这样我 们得到一串等式： f  x  g  x q1 x   r1 x , r1 x   0 g  x  r1  x q2 x  r2 x , r2 x   0 r1  x  r2  x q3 x   r3 x , r3 x   0 . 3   2   1   1   1   0 k k k k k r x r x q x r x , r x         2   1         0 k k k k k r x r x q x r x , r x      rk 1  x  rk  x qk 1 x  令 d  x  rk  x  ，对上述这一串等式从下到上运用引理1和引理2知 d  x  rk  x  就是f(x)与g(x)的一个最大公因式。去掉上述一串等式中的 最后一个等式，即由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去 rk  x ， rk 1  x,,r1 x  ，再并项就得到 d  x  u  x  f(x) v x g(x)。 （3）最大公因式的性质 设 P 是一个数域，以下讨论都是在 P[x]中进行的。 性质1：若 d  x 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式，那么对任意 c P ， cd  x 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式。 性质2： f (x) 与 g(x) 的最大公因式彼此相互整除。 性质3：如果 f (x)  g(x)  0 ，那么它们有唯一的最大公因式就是0； 性质 4：如果 f (x) 与 g(x) 不全为零，那么它们有无数个最大公因式，这 些最大公因式都不等于零，但它们彼此只差一个非零常数倍， 即若 d(x) 引导学生自 主寻找最大 公因式，培养 自主学习能 力。 此处性质由 学生分组讨 论完成，培养 合作学习意 识

是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么d(x)±0，且集合(cd(x)lceP,c±0给出了f(x)与g(x)的所有最大公因式。因此此时若能求出f(x)与g(x)的一个最大公因式，就可求出它们所有的最大公因式，注意到集合（cd(x)ceP,c+0)中首1的多项式只有一个，将其记为(f(x),g(x)，我们只需求出(f(x),g(x)即可。性质5：设d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式，则存在u(x)，v(x)e P[x]，使得：d(x)=u(x) f(x)+v(x)g(x)提出问题：逆命题是否成注：性质5的逆命题不成立，即若d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，未必有d(x)立？培养“怀疑精神”和探是f(x)与g(x)的最大公因式，索意识。例如：设f(x)=x+1,g(x)=-1,d(x)=x，那么：d(x)=1f (x)+1g(x)而d(x)不是f(x)与g(x)的因式，所以不是它俩的最大公因式。如果d(a)是f(x)与g(x)的公因式，那么d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式当且仅当存在u(x)，v(x)eP[x]，使得：d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)性质6在证明性质6：对P中任意不等于零的数k,l，有：中非常重要，提问学生具(f(x), g(x)=(kf (x), lg(x)) 体应用。证明：因为f(x)与kf(x)有相同的因式，g(x)与lg(x)有相同的因式,因此(x),g(x)与kf(x),lg(x)有相同的公因式，进而有相同的最大公因式，又首1的最大公因式是唯一的，因此性质6成立。性质 7: 设 f(x)=q(x)g(x)+r(x)，则(f(x),g(x))=(g(x),r(x))。24

24 是 f (x) 与 g(x) 的 一 个 最 大 公 因 式 ， 那 么 d(x)  0 ， 且 集 合 cd(x) c P,c  0给出了 f (x) 与 g(x) 的所有最大公因式。 因此此时 若能求出 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式，就可求出它们所有的最大公因 式，注意到集合cd(x) c P,c  0 中首 1 的多项式只有一个，将其记 为 f (x),g(x) ，我们只需求出 f (x),g(x) 即可。 性 质 5 ： 设 d(x) 是 f (x) 与 g(x) 的 最 大 公 因 式 ， 则 存 在 u(x) ， v(x) P[x] ，使得： d(x)=u(x) f (x)+v(x)g(x) 注：性质 5 的逆命题不成立，即若 d(x)=u(x)f (x)+v(x)g(x) ，未必有 d(x) 是 f (x) 与 g(x) 的最大公因式， 例如：设 f (x)=x+1, g x   1,d x   x ，那么： d(x)=1f (x)+1g(x) 而 d  x 不是 f (x) 与 g(x) 的因式，所以不是它俩的最大公因式。 如果 d(x) 是 f (x) 与 g(x) 的公因式，那么 d(x) 是 f (x) 与 g(x) 的最 大公因式当且仅当存在u(x) ，v(x) P[x] ，使得： d(x)=u(x)f (x)+v(x)g(x) 性质 6： 对 P 中任意不等于零的数 k,l ，有：  f (x), g(x)  kf (x), lg(x) 。 证明：因为 f (x) 与 kf (x) 有相同的因式， g  x 与lg(x) 有相同的因式， 因此 f (x), g(x) 与 kf (x), lg(x) 有相同的公因式，进而有相同的最大公因 式， 又首 1 的最大公因式是唯一的，因此性质 6 成立。 性质 7：设 f (x)=q(x)g(x)+r(x) ，则 f (x),g(x)  g(x),r(x) 。 提出问题：逆 命题是否成 立？培养“怀 疑精神”和探 索意识。 性质 6 在证明 中非常重要， 提 问 学 生 具 体应用

注：因对任意的u(x),v(x)eP[x]，有： (x)=(-u(x))g(x)+(f (x)+u (x)g (x))g(x)=(-v(x)f (x)+(v(x)f (x)+g (x))再由性质7得：(f(x), g(x)) =(f (x)+u (x)g (x), g(x))= (f (x),v (x)f (x)+g ()再结合性质6得：(f(x),g(x))=(f(x)+g(x), g(x))= (f(x)+g(x), -2g(x))=(f(x)+g(x), f(x)-g(x)性质 8: (f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x) ,其中 h(x)为首 1多项式。（4）最大公因式的求法辗转相除法求最大公因式：f(x)=g(x)q.(x)+r(x), r (x)± 0g(x)=r(x)q2 (x)+r, (x), r2 (x)± 0ri(x)=r (x)qs (x)+r(x), r (μ)± 0re-3(x)=r-2 (x)qk-1 (x)+n- (x), ne- (x)± 0x-2(x)=r-1 (x)q (x)+ (x), r (x)± 0提出问题，培r-1 (x)=r (x)qk+ (x)养学以致用的精神。r(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式。例1已知f(x)= x +x3 -3x2-4x-1,g(x)=x3 +x2-x-1, 求f(x)与g(x)的一个最大公因式，并将其表成f(x)与g(x)的一个组合。解：利用辗转相除法25

25 注：因对任意的u(x),v(x) P[x] ，有： f  x  u  x  g x   f x  u x g x  g  x  v  x  f x  v x  f x  g x  再由性质 7 得：  f (x), g(x)   f x  u x g x , g(x)   f x ,v x f x  g x  再结合性质 6 得：  f (x),g(x)   f (x)+g(x), g(x)  f (x)+g(x),  2g(x)    f (x)+g(x), f (x)  g(x) 性质 8： f (x)h(x),g(x)h(x)   f (x),g(x)h(x) ，其中 h(x) 为首 1 多项 式。 （4）最大公因式的求法 辗转相除法求最大公因式： f  x  g  x q1 x   r1 x , r1 x   0 g  x  r1  x q2 x  r2 x , r2 x   0 r1  x  r2  x q3 x   r3 x , r3 x   0 . 3   2   1   1   1   0 k k k k k r x r x q x r x , r x         2   1         0 k k k k k r x r x q x r x , r x      rk 1  x  rk  x qk 1 x  rk  x 就是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式。 例 1 已知 4 3 2 3 2 f (x)  x  x  3x  4x 1, g(x)  x  x  x 1， 求 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式，并将其表成 f (x) 与 g(x) 的一个组合。 解：利用辗转相除法 提出问题，培 养学以致用 的精神