沈阳师范大学：《高等代数》课程授课教案（一，授课教师：黄影）

学生讨论回1.带余除法定理答零次多项对Vf (x),g(x)e P[x], g(x)+0 , 一定存在q(x),r(x)eP[x]式与零多项式的区别，培使得(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)=0 或养探究精神。a(r(x))<(g(x))，并且这样的g(x),r(x)是唯一确定的，称g(x)与r(x)分别为g(x)除f(x)的商和余式。证明：先证商和余式的存在性：若f(x)=0，那么q(x)=r(x)=0，此时命题成立；若f(x)±0，设：f(x)=a,x"+.+ax+ao (a, + 0)此处的证明线g(x)=b.x"+...+b,x+b.(bm+0)用具体多项下面对被除式的次数作第二数学归纳法。式的除法讲下注：例1中第一次上商后得到的多项式：授较好。讲J(x)=-5x +4x+1= (x)-3x*g ()授其次数小于a(f(x))-1，所以要用第二数学归纳法。新当n=0时，如果m=0，那么(x)=α=%g()+0，此时bo课g(t)=,r(s)=0,如果m>0,那么g(t)=0,r(t)=(t),所以bon=0时命题成立；假设被除式的次数≤n-1时命题成立；考察被除式的次数为n的情形。如果n<m，那么g(x)=0,r(x)=f(x)，如果n≥m，令()= (g)-+x""g(n)bm即用g(x)去除f(x)上一次商。如果()=0，那么g()=",r(s)=0,bm.如果f(x)+0，那么a(f(x))≤n-1，由归纳假设，存在16

16 线 下 讲 授 新 课 1. 带余除法定理 对f  x, g  x  Px, g x   0 ，一定存在 q  x,r xPx 使 得 f  x  g  x q x   r x  成 立 ， 其 中 r x  0 或  r x   g  x  ，并且这样的 q  x,r x 是唯一确定的，称 q  x 与 r x 分别为 g  x 除 f  x 的商和余式。 证明：先证商和余式的存在性： 若 f  x  0 ，那么 q  x  r x   0 ，此时命题成立； 若 f  x  0 ，设：   1 0  0 n n n f x  a x  a x  a a    1 0  0 m m m g x  b x b x b b  下面对被除式的次数作第二数学归纳法。 注：例 1 中第一次上商后得到的多项式：       2 2 1 f x  5x  4x 1 f x  3x g x 其次数小于  f  x 1，所以要用第二数学归纳法。 当 n  0 时 ， 如 果 m  0 ， 那 么     0 0 0 0 a f x a g x b    ， 此 时     0 0 0 a q x ,r x b   ，如果 m  0，那么 q  x  0,r x   f x  ，所以 n  0 时命题成立； 假设被除式的次数 n 1时命题成立；考察被除式的次数为 n 的情形。 如果 n  m ，那么 q  x  0,r x   f x  ，如果 n  m ，令： 1       n n m ma f x f x x g x b    即用 g  x 去除 f  x 上一次商。 如果 f1  x  0 ，那么     0 n n m ma q x x ,r x b    ， 如 果 f1  x  0 ， 那 么   f1  x  n 1 ， 由 归 纳 假 设 ， 存 在 学生讨论回 答零次多项 式与零多项 式的区别，培 养探究精神。 此处的证明 用具体多项 式的除法讲 授较好

q(x),r(x)eP[x],使得：f(x)=g(x)q (x)+r (x)其中r(x)=0或a(r(x))<a(g(x))，进而得：()-[(g()++)g(+)+r()bm于是此时q(t)=g(t)+-"m,r(x)=r(g)。Dm因此被除式的次数为n时命题也成立，推出f(x)≠0时命题成立。此处证明由再证商和余式的唯一性：如果同时有：学生讨论完成，培养合作(x)=g(x)g(x)+r(x), 其中r(x)=0或a(r(x)<a(g(x)和学习意识。f(x)=g(x)q (x)+r(x), 其中r(x)=0或a(r(x))<(g(x)成立则有g(x)g(x)+r(x)=g(x)g.(x)+r;(x)，推出:g(x)(g(x)-qi(x)=r (x)-r (x)如果g(x)-q(x)0，那么有r(x)-r(x)0，且：a(ri(x)-r(x))=0(g(x)+0 (q(x)-q (μ)≥0 (g (x)但a(ri(x)-r(x))≤max ((r (x)),0 (r ()<0 (g (x)矛盾，所以q(x)-q(x)=0，推出r(x)-r(x)=0，于是有：q(x)=q(x)，ri(x)=r(x)成立，得商和余式的唯一性成立。2. 整除设P是一个数域。此处整除的(1)多项式整除的定义：令(x)和g(x)是P[x]中的两个多项式。如果概念与数的整除类比教存在P[x]的多项式h(x)，使g(x)=f(g)h(x)，我们就说f(a)整除(能除尽)学，更加有助于理解本质。g(x)用符号(x)g(x)表示，否则称(x)不能整除g(x)，记为厂(x)+g(μ)。当厂(x)g(x)时，称/x)为g(x)的一个因式。（2）多项式整除性的一些基本性质17

17 q1  x,r1  x Px ，使得： f1  x  g  x q1 x   r1 x  其中 r1  x  0或 r1  x   g  x ，进而得：   1     1   n n m ma f x q x x g x r x b           于是此时   1     1   n n m ma q x q x x ,r x r x b     。 因此被除式的次数为 n 时命题也成立，推出 f  x  0 时命题成立。 再证商和余式的唯一性：如果同时有： f  x  g  x q x   r x  ，其中 r x  0 或  r x   g  x  和 f  x  g  x q1 x   r1 x  ，其中 r1  x  0或 r1  x   g  x 成立 则有 g  x q  x  r x   g x q1 x  r1 x  ，推出： g  xq  x  q1 x   r1 x r x  如果 q  x  q1  x   0 ，那么有 r1  x  r x   0，且：  r1  x  r x    g x   q x  q1 x   g x  但  r1  x  r x   max r1 x , r x   g x  矛 盾 ， 所 以 q  x  q1  x   0 ， 推 出 r1  x  r x   0 ， 于 是 有 ： q1  x  q  x  ， r1  x  r x  成立，得商和余式的唯一性成立。 2. 整除 设 P 是一个数域。 （1）多项式整除的定义：令 f (x)和 g(x)是 Px中的两个多项式。如果 存在 Px的多项式 h(x)，使 g(x)= f (x) h(x)，我们就说 f (x)整除(能除尽) g(x) 用 符 号 f  x g  x 表 示 ， 否 则 称 f(x) 不 能 整 除 g(x) ， 记 为 f  x Œ g  x  。当 f  x g  x 时, 称 f(x)为 g(x)的一个因式。 （2）多项式整除性的一些基本性质 此处证明由 学生讨论完 成，培养合作 学习意识。 此处整除的 概念与数的 整除类比教 学，更加有助 于理解本质

①如果(x）g(x），且g(x)f(x），那么f(x)=cg(x)，这里c是P中任此处性质由一不等于零的数：学生分组讨论完成。②如果f(x)g(x)，且g(x)h(x)，那么f(x)h(x)：③如果h(x)f,(x),i=1,2,,t，那么对P[x]中任意多项式g,(x)i=1,2,...,1，有:h(x)(f.(x)g; (x)± f2(x)g2 (x)±..± f. (x)g, (x)④如果f(x)g(x)，那么对于P[x]中任意多项式h(x)，都有f (x)lg(x)h(x) :零次多项式③零次多项式，也就是P中不等于零的数，整除任一多项式；与任意多项③每一个多项式(x）都能被c(s）整除，这里c是P中任一不等于零的式的整除关数。事实上，x)=(x)=二(c();系是易错概念。综合除法若f(x)=a,r"+a,x-l+..+an,则x-a除f(x)的商式q(x)=box"+.+b-和余式可按下列计算格式求得：aoaaz.an-iana+)ab.ab,...abn-2abu-1一方面让学b=aobb.br新生理解带有这里，b=a+abo,b,=az+ab，,除法定理中知bu-1=an--+abn-2,r=a,+ab-1的商和余式的概念，另一说明：综合除法一般用于扩方面为后面①求一次多项式x-a去除f(x）的商式及余式求整系数多展项式的有理②把f(x）表成x-a的方幂和，即表成根做准备f(x)=co+c,(x-a)+c,(x-a)"+..的形式.18

18 ① 如果 f  x g  x ，且 g  x f  x ，那么f (x)=cg(x)，这里c是 P 中任 一不等于零的数； ② 如果 f  x g  x ，且 g  x h  x ，那么 f  x h  x  ； ③ 如果     1 2 i h x f x ,i  , ,,t ，那么对 Px 中任意多项式 gi  x i 1,2,,t ，有： hx f xg x f xg x f xg x 1 1  2 2  t t ④ 如 果 f  x g  x ， 那 么 对 于 Px 中 任 意 多 项 式 h x ， 都 有 f  x g  xh  x  ； ⑤ 零次多项式，也就是 P 中不等于零的数，整除任一多项式； ⑥ 每一个多项式 f(x) 都能被 cf(x) 整除，这里c是 P 中任一不等于零的 数。事实上，f(x) =      1 f x cf x c  ； 此处性质由 学生分组讨 论完成。 零次多项式 与任意多项 式的整除关 系是易错概 念。 新 知 扩 展 一方面让学 生理解带有 除法定理中 的商和余式 的概念，另一 方面为后面 求整系数多 项式的有理 根做准备

小本节主要学习了：①带余除法定理：②多项式整除的定义：③整除的性质。结1. 设f(x)=3x +2x-1,g(x)=-3x +x2 +7,考察学生对思于本节的教考求f(x)+g(x)与f(x)g(x)的3次项系数；学重点一整与除的概念及练2. 设f(x)=2x3 -x2-1,g(x)=-2x3 +x2 +7,带余除法是习否掌握牢固.求f(x)+g(x)与f(x)g(x)的次数及首项系数。作业2题为余数定理打下基础。1. 设f(x)g(x),且a(f(x)=o(g(x), 证明g(x)f(x)。作业2.求g(x)=x-3除f(x)=x3+ax-1的余式为2，求a的值。1.对数学归纳法学生较为陌生，需在定理证明前讲授。2.对于第二数学归纳法的次数小于n的分析学生问题较大，需要用实例讲教授，可化难为简。学3.学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形成反了较为浓厚的线上学习氛围。思19

19 小 结 本节主要学习了： ①带余除法定理；② 多项式整除的定义；③ 整除的性质。 思 考 与 练 习 1. 设     3 3 2 f x  3x  2x 1, g x  3x  x  7 ， 求 f  x  g  x 与 f  x g  x 的 3 次项系数； 2. 设     3 2 3 2 f x  2x  x 1, g x  2x  x  7 ， 求 f  x  g  x 与 f  x g  x 的次数及首项系数。 考 察 学 生 对 于 本 节 的 教 学 重 点 — 整 除 的 概 念 及 带 余 除 法 是 否掌握牢固. 作 业 1. 设 f  x g  x ，且   f  x   g  x  ，证明 g  x f  x 。 2. 求 g  x  x  3除   3 f x  x  ax 1的余式为 2，求 a 的值。 作业 2 题为余 数 定 理 打 下 基础。 教 学 反 思 1.对数学归纳法学生较为陌生，需在定理证明前讲授。 2.对于第二数学归纳法的次数小于 n 的分析学生问题较大，需要用实例讲 授，可化难为简。 3.学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形成 了较为浓厚的线上学习氛围

教学时数3学时授课题目s1.4最大公因式1、了解最大公因式的概念；线上预习目标2、了解辗转相除法的内容。1、理解最大公因式的概念，熟练掌握最大公因式的求法、性质及多项式互素的充教学目标要条件。2、培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。1、通过实例引出定理体现“抽象与具体”的哲学思想。思政目标2、通过数的最大公因数与多项式的最大公因式的概念类比体现事物普遍联系的哲学原理。3、通过课堂讨论培养激励学生合作意识最大公因式与互素的概念及转相除法。教学重点教学难点最大公因式的求法及互素等相关证明。线上线下混合式教学（线上1.2学线上线下混合式教学教学方法教学手段时+线下1.8学时）（线上自制知识点总结微课+线上（1.2学时）线上自制习题讲解微课+（1）预习自建微课视频线下多媒体教学）（2）线上随堂练习或线上预习测试线下（1.8学时）：讨论式（师生讨论）引导式、示范启发式20

20 授课题目 §1.4 最大公因式 教学时数 3 学时 线 上 预 习 目标 1、了解最大公因式的概念； 2、了解辗转相除法的内容。 教学目标 1、理解最大公因式的概念，熟练掌握最大公因式的求法、性质及多项式互素的充 要条件。 2、培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。 思政目标 1、通过实例引出定理体现 “抽象与具体”的哲学思想。 2、通过数的最大公因数与多项式的最大公因式的概念类比体现事物普遍联系的哲 学原理。 3、通过课堂讨论培养激励学生合作意识。 教学重点 最大公因式与互素的概念及辗转相除法。 教学难点 最大公因式的求法及互素等相关证明。 教学方法 线上线下混合式教学（线上 1.2 学 时+线下 1.8 学时） 线上（1.2 学时） （1）预习自建微课视频 （2）线上随堂练习或线上预习测 试 线下（1.8 学时）： 讨论式（师生讨论）引导式、示范 启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学）