沈阳师范大学：《高等代数》课程授课教案（一，授课教师：黄影）

f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数乘以g(x)的首项系数（3）运算规律f(x)+g(x)=g(x)+f (x)(f(x)+g(x)+h(x)=f (x)+(g (x)+h (x))f(x)g(x)=g(x)f (x)((x)g(x)h(r)= f (x)(g (r)h (x))f(x)(g(x)+h(x)= f (x)g (x)+f (x)h (x)f (x)g(x)=f (x)h(x),f (x)+0=g (x)=h(x)新例 2: 设F(x),g(x),h(μ)e R[x],知通过学生讨(1)证明:若f(x)=xg(x)+xh (x),则: (x)=g(x)=h(x)=0;论培养其团扩（2）在C上（1）是否成立？队意识展本节讲授了：小①数域P上的一元多项式的定义及相关概念；②数域P上的一元多项式的加法、减法、乘法运算结③数域P上的一元多项式的运算性质。1. 设f(x)=3x3 +2x-1,g(x)=-3x +x2 +7考查定义的思理解考求f(x)+g(x)与f(x)g(x)的3 次项系数与练2. 设f(x)=2x3 -x2-1,g(x)=-2x3 +x2+7,习求f(x)+g(x)与f(x)g(x)的次数及首项系数。1.若P,P,为数域，证明：PnP也为数域作2. 设f(x)=3x3 +2x-1,g(x)=-3x3 +x2 +7,业求f(x)+g(x)与f(x)g(x)。11

11 f  x g  x 的首项系数等于 f  x 的首项系数乘以 g  x 的首项系数。 （3）运算规律 f  x  g  x   g x   f x  ；  f  x  g  x   h x   f x  g x  h x  f  x g  x  g x  f x   f  x g  xh x   f x g x h x  f  x g  x   h x   f x g x  f x h x  f  x g  x  f x h x , f x   0 g x   h x  新 知 扩 展 例 2：设 f  x, g  x,h x Rx  ， （1）证明：若       2 2 2 f x  xg x  xh x ，则：f  x  g  x   h x   0； （2）在C 上（1）是否成立？ 通过学生讨 论培养其团 队意识 小 结 本节讲授了： ① 数域 P 上的一元多项式的定义及相关概念； ② 数域 P 上的一元多项式的加法、减法、乘法运算； ③ 数域 P 上的一元多项式的运算性质。 思 考 与 练 习 1. 设     3 3 2 f x  3x  2x 1, g x  3x  x  7 ， 求 f  x  g  x 与 f  x g  x 的 3 次项系数； 2. 设     3 2 3 2 f x  2x  x 1, g x  2x  x  7 ， 求 f  x  g  x 与 f  x g  x 的次数及首项系数。 考 查 定 义 的 理解 作 业 1．若 1 2 P,P 为数域，证明： P1  P2 也为数域． 2. 设     3 3 2 f x  3x  2x 1, g x  3x  x  7 ， 求 f  x  g  x 与 f  x g  x

1.零次多项式与零多项式是易混淆概念，需要配合举例强化概念教学。2.次数定理是本节课重难点，参考书《高等代数选讲》中的典型例题起到教较好的教学效果。学3.学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形成反了较为浓厚的线上学习氛围。思12

12 教 学 反 思 1.零次多项式与零多项式是易混淆概念，需要配合举例强化概念教学。 2.次数定理是本节课重难点，参考书《高等代数选讲》中的典型例题起到 较好的教学效果。 3.学习通讨论区学生积极提问和答复，极大拓展了线下教学的时空，形成 了较为浓厚的线上学习氛围

教学时数3学时授课题目$1.3整除1、了解整除的概念；线上预习目标2、了解数的整除与多项式整除关系的区别。1、熟练掌握一元多项式整除的概念及性质。教学目标2、培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。1、课堂分组讨论培养学生的“合作学习意识”。思政目标2、多项式的整除与数的整除的关系体现事物普遍联系的哲学原理。3、数学家的故事介绍激励学生勇于探索整除的概念及带余除法。教学重点教学难点多项式整除的证明。线上线下混合式教学（线上1.2学线上线下混合式教学教学方法教学手段时+线下1.8学时）（线上自制知识点总结微课+线上（1.2学时）线上自制习题讲解微课+（1）预习自建微课视频线下多媒体教学）（2）线上随堂练习或线上预习测试线下（1.8学时）：讨论式（师生讨论）引导式、示范启发式13

13 授课题目 §1.3 整除 教学时数 3 学时 线 上 预 习 目标 1、了解整除的概念； 2、了解数的整除与多项式整除关系的区别。 教学目标 1、 熟练掌握一元多项式整除的概念及性质。 2、 培养学生的逻辑推理能力，抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力。 思政目标 1、 课堂分组讨论培养学生的“合作学习意识”。 2、 多项式的整除与数的整除的关系体现事物普遍联系的哲学原理。 3、数学家的故事介绍激励学生勇于探索 教学重点 整除的概念及带余除法。 教学难点 多项式整除的证明。 教学方法 线上线下混合式教学（线上 1.2 学 时+线下 1.8 学时） 线上（1.2 学时） （1）预习自建微课视频 （2）线上随堂练习或线上预习测 试 线下（1.8 学时）：讨论式（师生讨 论）引导式、示范启发式 教学手段 线上线下混合式教学 （线上自制知识点总结微课+ 线上自制习题讲解微课+ 线下多媒体教学）

教学过程设计意图教师：（线上教学准备）线1.学生带着问题学习视频课，1学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设使学生把握重点，有的放矢，计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。提高预习效果。上教学过学生：（线上学习内容）程2.学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师2、3.通过视频课预习，提前生共同讨论了解本节课内容，加深知识点3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测理解。验题教师：（线上教学总结）4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务4.5.通过预习测验题的扇形统点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完成率达百分之百。计图，了解学生的知识点掌握5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解情况，使线下教学更有针对性。学生知识点掌握情况。14

14 教学过程 设计意图 线 上 教 学 过 程 教师：（线上教学准备） 1.学习通“通知”发布学生预习的“自建在线视频 课”的内容及预习后回答的问题。为学生编写、设 计、发布学习通-活动-随堂测验的预习测验题。 学生：（线上学习内容） 2. 学生学习通预习辽宁省资源共享课在线本节课 的视频课，并在学习通讨论区提问不懂的地方，师 生共同讨论 3.学生学习通-活动-随堂练习，完成本节课预习测 验题 教师：（线上教学总结） 4.通过学习通后台的“统计“了解学生视频课任务 点完成情况，督促未完成同学完成，确保任务点完 成率达百分之百。 5.借助“学习通随堂测验“的”成绩统计“，了解 学生知识点掌握情况。 1.学生带着问题学习视频课， 使学生把握重点，有的放矢， 提高预习效果。 2、3.通过视频课预习，提前 了解本节课内容，加深知识点 理解。 4.5.通过预习测验题的扇形统 计图，了解学生的知识点掌握 情况，使线下教学更有针对 性

提问学生：通过线上预习，有哪些收获？1.一元多项式整除的定义2.一元多项式的整除与数的整除有何关系？1.第2节定义了多项式的加法、减法、乘法，那么多项式是否可以定义除法与中学知识联系，减少陌呢？我们看下面的例子。生感，树立学例1:f(x)=3x*+6x2-2x2+4x+1，g(x)=x2+2x+1习的自信心。q(x)=3x2 -5(x)=3x* +6x3 -2x2 +4x+1 |g (x)= x* +2x+13x*+6x3+3x2-5x2 +4x+1-5x2-10x-5r(x)=14x+6得: f(x)=g(x)q(x)+r (x), r(x)±0,(r(x)<a(g(x)线例2: fi(x)=x3-x2-5x-3, g(x)=x2+2x+1下9 (x)=x-3 |(t)=x* -x* -5x-3 |g(t)= x* +2x+1导x+2x2+x入-3x2-6x-3-3x2-6x-3课r(x)=0程J.(x)=g(x)q (x)由例1可知在多项式中除法不是总能实行的，但可以作带余除法，例2的情形称为g(x)f.(x)。2.介绍第二数学归纳法：将第一数学归纳法中的归纳假设：假设n=k时命题成立改为假设n≤k时命题成立。15

15 线 下 导 入 课 程 提问学生：通过线上预习，有哪些收获？ 1.一元多项式整除的定义 2.一元多项式的整除与数的整除有何关系？ 1. 第 2 节定义了多项式的加法、减法、乘法，那么多项式是否可以定义 除法 呢？我们看下面的例子。 例 1：   4 3 2 f x  3x  6x  2x  4x 1 ，   2 g x  x  2x 1         2 4 3 2 2 4 3 2 2 2 3 5 3 6 2 4 1 2 1 3 6 3 5 4 1 5 10 5 14 6 q x x f x x x x x g x x x x x x x x x x r x x                     得： f  x  g  x q x   r x  ， r x  0, r  x    g x 。 例 2：   3 2 1 f x  x  x  5x  3 ，   2 g x  x  2x 1         3 2 2 1 3 2 2 2 1 3 5 3 2 1 2 3 6 3 3 6 3 0 q x x f x x x x g x x x x x x x x x x r x                   f1  x  g  x q1 x  由例 1 可知在多项式中除法不是总能实行的，但可以作带余除法，例 2 的情形称为 g  x f1  x 。 2. 介绍第二数学归纳法：将第一数学归纳法中的归纳假设：假设 n  k 时 命题成立改为假设 n  k 时命题成立。 与 中 学 知 识 联系，减少陌 生感，树立学 习的自信心