江画工太猩院 1+ rp n 々)<1 即s有界,则P-级数收敛. P级数(学>时,收敛 当≤时,发散 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数
江西理工大学理学院 ∫ = + n p xdx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 − < + p 即 有界, n s 则P −级数收敛. ⎩⎨⎧ ≤> − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , pp P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数
江画工太猩院 例2证明级数∑ 是发散的. n=lV n(n+1) 证明 n(n+1)n+1 而级数∑一发散, n=in+ 级数∑ 发散 n、mn+1) 例3证明级数∑,是收敛的 h=1 证明S2(n2)而级数∑2收敛, n n 级数∑1收敛 n n=14
江西理工大学理学院 例 2 证明级数 ∑ ∞ = 1 ( + 1 ) 1 n n n 是发散的 . 证明 , 1 1 ( 1 ) 1 + > n n + n Q , 1 1 1 ∑ ∞ = + n n 而级数 发散 . ( 1 ) 1 1 ∑ ∞ = + ∴ n n n 级数 发散 例 3 证明级数 ∑ ∞ = 1 1 n n n 是收敛的 . 证明 , ( 2 ) 1 1 2 ≤ n ≥ n n Q n 而级数 ∑ 收敛, ∞ = 1 2 1 n n 级数 ∑ 收敛. ∞ = ∴ 1 1 n n n
江画工太猩院 4比较审敛法的极限形式: 设∑un与∑V1都是正项级数如果 n→0 n=1 则()当0<l<+时二级数有相同的敛散性; ()当1=0时,若∑收敛则∑4收敛: 1=1 )当1=+∞时若∑发散则∑n发散; n=1 n=1
江西理工大学理学院 4.比较审敛法的极限形式: 设 ∑ ∞ n = 1 u n 与 ∑ ∞ n = 1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若 ∑ ∞ n = 1 n v 发散,则 ∑ ∞ n = 1 u n 发散; lim l , v u n n n = → ∞ 0 < l < + ∞ l = 0 l = + ∞ ∑ ∞ n = 1 n v ∑ ∞ n = 1 u n
江画工太猩院 证明(1)由im"=l对于E=>0 1→ n 彐N,当n>N时,1-<<l+ 2 31 v <u,<v(n>N 由比较审敛法的推论,得证
江西理工大学理学院 证明 l v u n n n = →∞ (1)由lim 0, 2 = >l 对于ε ∃ N, 当n > N时, 2 2l l v l u l nn − < < + ( ) 23 2 v n N l v u l 即 n < n < n > 由比较审敛法的推论, 得证
江画工太猩院 5极限审敛法 设∑n为正项级数, im -h =l>0 1→0 如果 lim nu=1>0(或immn=), 1→00 1→00 则级数∑un发散; 1l→0 如果有p>1,使得imn"un存在 n-→0三 则级数∑n收敛
江西理工大学理学院 设∑ ∞ n=1 un 为正项级数, 如果lim = > 0 →∞ nu l n n (或 = ∞ →∞ n n lim nu ), 则级数∑ ∞ n=1 un 发散; 如果有 p > 1, 使得 n p n n u →∞ lim 存在, 则级数∑ ∞ n=1 un 收敛. 5.极限审敛法： lim 0 1 = > →∞ l u n n n l u p n n n = →∞ 1 lim