第五节函数的幕级数展开式的应用一、近似计算微分方程的幂级数解法三、欧拉公式返回MathGS公式上页下页线与面数学家
第五节 函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法 三、欧拉公式
第五节函数的幕级数展开式的应用一、近似计算用函数的幂级数展开式，可以在展开式有效的区间内计算函数的近似值，而且可达到预先指定的精度要求返回MathGS公式上页下页线与面数学家
第五节 函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算 用函数的幂级数展开式，可以在展开式有效的区间 内计算函数的近似值，而且可达到预先指定的精度要求
第五节函数的幕级数展开式的应用例1计算5/240的近似值，要求误差不超过10-4，解包例2 计算 ln 2 的近似值，要求误差不超过10-4解白f求sin9°的近似值，并估计例3 利用 sinx ~ x-3!误差.解白上页下页返回MathGS公式数学家线与面
第五节 第五节 函数的幂级数展开式的应用 函数的幂级数展开式的应用 解 例1 计算 5 240 的近似值，要求误差不超过 10-4 . 把 5 240 表示为 5 240 5 = 243−3 . 3 1 3 1 1 5 4 = − ( 1 1) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 − + − − + + + − + = + + x x n m m m n x m m x mx m n 在二项展开式 中取 , 3 1 , 5 1 4 m = x = − 得 例1 计算 5 240 的近似值，要求误差不超过 10-4 . 第五节 函数的幂级数展开式的应用 解 例2 计算 ln 2 的近似值，要求误差不超过 10-4 . 利用公式 ( 1) ( 1 1) , 2 3 ln(1 ) 1 2 3 + = − + − + − + − − x n x x x x x n n 可得 . 1 ( 1) 3 1 2 1 ln 2 1 = − + −+ − −1 + n n 如果取前 n 项作为近似值，其误差为 1 1 | | + n rn 4 10− 10 . 4 n 例2 计算 ln 2 的近似值，要求误差不超过 10-4 . 例3 利用 求 误差. 的近似值 , 并估计 第五节 函数的幂级数展开式的应用 例3 利用 , 3! sin 3 x x x − 求 sin 9 误差. 的近似值 , 并估计 ) , 20 π ( 7! 1 ) 20 π ( 5! 1 ) 20 π ( 3! 1 20 π 20 π sin = − 3 + 5 − 7 + 解 9 = (弧度), 5 2 ) 20 π ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 10 . 3 1 −5 0.157080− 0.000646 3 ) 20 π ( 3! 1 20 π 20 π sin − 9 180 π 20 π = 0.15643. 先把角度化为弧度
第五节函数的幕级数展开式的应用2例4计算积分的近似值，精确到10-4dx-T~ 0.56419√元解白1sinx例5计算积分dx的近似值，精确到10-40x解白上述两题也可以在MathGS的工具箱中进行验证返回MathGS公式上页下页线与面数学家
第五节 函数的幂级数展开式的应用 例4 计算积分 的近似值, 精确到 10-4 0.56419 . π 1 第五节 函数的幂级数展开式的应用 例4 计算积分 x x e d π 2 2 1 2 0 − 的近似值, 精确到 10 -4 0.56419 . π 1 解 + − + − = − + − 3! ( ) 2! ( ) e 1 2 2 2 3 2 2 x x x x ! ( 1) 2 0 n x n n n = = − (− x +) . x x e d π 2 2 2 1 0 − dx π 2 2 1 0 = ! ( 1) 2 0 n x n n n = − = − = 0 ! ( 1) π 2 n n n x x n d 2 0 2 1 = − = 0 ! ( 1) π 2 n n n 2 1 2 1 n+ (2n +1) 例5 计算积分 的近似值，精确到 10-4 . 第五节 函数的幂级数展开式的应用 例5 计算积分 x x x d 1sin 0 的近似值，精确到 10-4 . 解 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为1，则它在积分区 , (2 1)! ( 1) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 2 + + = − + − + + − n x x x x x x n n 间上连续，且有幂级数展开式 : 由于 上述两题也可以在MathGS的工具箱中进行验证
第五节函数的幕级数展开式的应用微分方程的幂级数解法二行1.一阶微分方程的情形求解一阶微分方程dy=f(x,y),dx= YoX=x其中f(x,)是x-xo及y-yo的多项式返回MathGS公式上页下页线与面数学家
第五节 函数的幂级数展开式的应用 二、微分方程的幂级数解法 ( , ) , d d f x y x y = , 0 0 y y x x = = 1. 一阶微分方程的情形 求解一阶微分方程 其中 f (x , y) 是 x – x0 及 y – y0 的多项式