《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第三章 n维向量空间 3-4 线性方程组解的结构

设方程组AX=0的任一解=（,,+,）作向量n=r+1S++22+.+,n-r，由解的性质可知，n是方程组AX=0的解，比较n与的后n-r个分量对应相等，由方程组（1）知，前r个分量也必然相等，因此 n=≤证毕即可由,5，,线性表示。X=k+kz52++kn-rsn-r（k,k2,,kn-r为任意常数）齐次方程组的通解求通解的步骤：系数矩阵行最简形—自由未知量—基础解系—通解

设方程组 的任一解  AX  0 T r r n ( , , , , , )   1    1   作向量   r1 1 r2  2 n  nr ， 由解的性质可知， 是方程组 AX  0 的解， 比较  与  的后 n r 个分量对应相等，由方程组（1）知，前 r 个分量也必然相等， 因此   即  可由 1 , 2 ,  , nr 线性表示。 证毕 n r n r X k k k 齐次方程组的通解  1 1  2  2     n r k k k  , , , （ 1 2  为任意常数） 求通解的步骤： 系数矩阵 行最简形 自由未知量 基础解系 通解

2x, +X2-2x, + 3x4=0的通解。例1求齐次线性方程组13x, +2x2-X;+2x4=0(X++-=0解：对系数矩阵进行初等行变换，/3(1 (11(104 211 -1-31 -2-112504-53223-120A=-1-1-4-→→5000(23(001-111-2-1-4X =3x -4x4秩为2，基础解系含2个解向量，取自由未知量x3，X4，得同解方程组[x2 =-4x +5x43(-4)5-4基础解系=通解为X=k5i+k252kj,k2为任意常数1001

例1 求齐次线性方程组 的通解。                  0 3 2 2 0 2 2 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解：对系数矩阵进行初等行变换，               1 1 1 1 3 2 1 2 2 1 2 3 A               2 1 2 3 3 2 1 2 1 1 1 1                 0 1 4 5 0 1 4 5 1 1 1 1              0 0 0 0 0 1 4 5 1 0 3 4 秩为 2，基础解系含 2 个解向量，取自由未知量 x3 , x4 ，得同解方程组                                1 0 5 4 , 0 1 4 3 基础解系 1  2         2 3 4 1 3 4 4 5 3 4 x x x x x x 通解为 1 2 ， k , k 1 1 2  2 X  k  k 为任意常数

X+x2-3x-x4=0例2求齐次线性方程组的基础解系。3x -X2 -3x, +4x4 =0X+5x2-9xg-8x4=0解：对系数矩阵进行初等行变换，CA-3-11(11-3(111-1)(11-3-1-1-337104677-16→A=3-30-404↓-→124501(0-84(000-90-6-70003301243710秩为2基础解系含2个解向取自由未知量X3,X4240(3)60003316x, =X3x4P2C基础解系得同解方程组0473xx0424

例2 求齐次线性方程组 的基础解系。                  5 9 8 0 3 3 4 0 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解：对系数矩阵进行初等行变换，                  1 5 9 8 3 1 3 4 1 1 3 1 A 秩为 2，基础解系含 2 个解向量，取自由未知量 x3 , x4 ，                               4 0 7 3 , 0 4 6 6 基础解系 1  2            2 3 4 1 3 4 4 7 2 3 4 3 2 3 x x x x x x                 0 4 6 7 0 4 6 7 1 1 3 1               0 0 0 0 0 4 6 7 1 1 3 1                  0 0 0 0 4 7 2 3 0 1 1 1 3 1                     0 0 0 0 4 7 2 3 0 1 4 3 2 3 1 0 得同解方程组

求解齐次线性方程组的步骤：初等行变换1) 将A-（行最简形）2）写出与原方程组同解的方程组X =-ki,r+1Xr+1 -...- kinxnX, =-kr,r+1Xr+1 -...-kmXn

求解齐次线性方程组的步骤： 1 0 0 r I B A       ） 将 初等行变换 （行最简形） 2）写出与原方程组同解的方程组：      r r r r rn n x  k x   k x , 1 1  r r n n x k x k x 1   1, 1 1  1 