函数的一阶和二阶导数为 dy =0, dx xx=o dx2 D? dy dx? =-1. x=0
函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy , y x 0, 0 dx x dy 2 2 2 y y xy dx d y 2 y y x y x , 1 3 y 1. 0 2 2 x dx d y
例2己知nVc2+少2=arctan二，求 y dx 解令F(x,y)=lnVx2+y2-arctan 比 则)5川 x2+y2 dx y J-x
解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y x y ( , ) , 2 2 x y x y F x y x ( , ) , 2 2 x y y x F x y y y x F F dx dy . y x x y 2 2 2 ln arctan . y dy x y x dx 例 已知 ，求
方程y-e*+e'=0确定的函数的导数 记F(x,y)=y-e*+e',则 (I)F(x,y)=y-e与F,(x,y)=x+e'在点(0,0) 的邻域内连续； (2)F(0,0)=0; (3)F,(0,0)=1≠0， 所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、 当x=0时y=0的隐函数y=f(x),且 dy=_Fs=_y-ex dx xter
方程 0 . x y dy xy e e dx 确定的函数的导数 记 ( , ) , x y F x y xy e e F(0,0) 0; (1) x x F (x, y) y e y y 与F (x, y) x e 在点(0,0) 的邻域内连续; (0,0) 1 0, Fy 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 且 y x F F x y d d . x y y e x e 当x 0时y 0 的隐函数 y f (x), 则 (2) (3)
隐函数存在定理2：设函数F(x,y,z)在点P(x,y,) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x,y,)=0, F,(x,乙)≠0，则方程F(x,y,2)=0在点P(x,z)》 的邻域内恒能唯一确定一个连续且有连续偏导数的函 数z=f(x,y),它满足条件z。=f(x,y),并有 Ox F:'dy F
( 2 ) ( , , ) 0 F x y z 的 情 形 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 ( , , ) 0, ( , , ) 0 ( , , ) ( , ) ( , ) , 2 z x y z z F x y z P x y z F x y z F x y z F x y z P x y z z f x y z f x y z z F F x F y F 设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 ， 则方程 在点 的邻域内恒能唯一确定一个连续且有连续偏导数的函 数 ，它满 隐函数 足条 存 件 ，并有 在定理 ：
例3设x2+少2+z2-4:=0,求0： 解令F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z, 则F=2x,F2=2z-4, Ox F 2-z ∂2z(2-z)+x z 2-0+x2 x -2 (2-z)2 (2-z)2 =(2-z)2+x2 (2-z)3
解 令 则 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z x y z z F 2 x, x F 2 z 4, z , 2 z x F F x z z x 2 2 x z 2 (2 ) (2 ) z x z z x 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x 2 2 2 2 2 3 4 0 z x y z z x 例 设 ，求