从这个定义我们可以看出，函数f(x)在点x处连续，必须满足以下三个条件：(1）函数f(x)在点x.处有定义;(2）极限limf(x)存在，即x-→xolim f(x) = lim f(x)x→xox-→Xo(3) lim f(x)= f(x.) -x-→>xo即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值经济数学微积分
从这个定义我们可以看出，函数f (x) 在点 0 x 处连续，必须满足以下三个条件： （1）函数 f (x)在点 x0 处有定义； （2）极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在，即 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x − + → → = （3）lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → . 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极 限存在且等于该点的函数值
-x±0,xsin例1 试证函数,f(x)=在x= 0x0,x= 0,处连续。证 ·limxsin=0x-→0x又f(0)= 0,lim f(x) = f(0),x0由定义2知函数f(x)在x=0处连续微积分经济数学
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →
例2 证明函数y= sinx在区间(-o0,+oo)内连续证任取x E (-0,+8),AxNAy = sin(x + Ax) - sin x = 2sin22AxAx则|Ay|≤ 2sin≤1,cos(x +22对任意的α,当α≠0时,有sinα<α,Ar:. 当△x→0时,Ay→0故Ay|≤ 2sin[Ax]2即函数y= sinx对任意xE(-o0,+o)都是连续的经济数学微积分
例 2 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(−,+)都是连续的
3.单侧连续若函数f(x)在(a,xj内有定义,且f(x。-0)= f(x)则称f(x)在点x.处左连续若函数f(x)在[xo,b)内有定义,且f(x+0)= f(x)则称f(x)在点x处右连续定理lim f(x)= f(xo) f(xo -0)= f(x +0)= f(xox→xo经济数学微积分
3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x 定理 ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim 0 f x f x f x f x f x x x = − = + = →
x + 2,,x≥0在x=0处的例3 讨论函数 f(x)=x-2, x<0,连续性.解 lim f(x) = lim(x+2) = 2= f(0)x0x-0+lim f(x) = lim(x -2)= -2± f(0),x-→0x-0右连续但不左连续，故函数f(x)在点x=0处不连续经济数学微积分
例3 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续