第3章多维随机变量 3.1内容框图 多维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 3.2基本要求 (1)了解多维随机变量及其分布函数的概念，理解二维随机变量的联合分布（分布函数，概率 分布，概率密度)和边缘分布的概念与性质及它们之间的关系，并会用以求解具体问题。 (2)了解二维随机变量的条件分布的概念及计算，了解密度函数、边缘密度函数和条件密度 函数的关系。 (3)理解随机变量独立性的概念，并能熟练运用独立性解决具体问题。 (4)了解二维随机变量的函数的概念，会求两个独立随机变量的常用函数的分布，记住几个 常用分布的和函数的分布。 3.3内容概要 1)二维随机变量的分布函数： (1)定义：二维随机变量(5，)的联合分布函数F(x,y)兰P{5≤x,7≤y}。 (2)性质： ①F(x,y)是单调不减函数： Vx3>x,>y→F(x2,y)≥F(x,y),F(x,2)≥F(x,) ②F(x,y)是有界函数：0≤F(x,y)≤1，且 F(+∞，+∞)=1，F(-∞，-∞)=Fx,-∞)=F-∞，y)=0: ③F(x,y)是右连续的：F(x+0,y=F(x,y),F(x,H0)FF(x,y)。 ④Vx3>x,>→F(x2,2)+F(x,)≥F(x2,y)+F(x1,2)
第 3 章 多维随机变量 3.1 内容框图 多维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 3.2 基本要求 (1)了解多维随机变量及其分布函数的概念，理解二维随机变量的联合分布(分布函数，概率 分布，概率密度)和边缘分布的概念与性质及它们之间的关系，并会用以求解具体问题。 (2)了解二维随机变量的条件分布的概念及计算，了解密度函数、边缘密度函数和条件密度 函数的关系。 (3)理解随机变量独立性的概念，并能熟练运用独立性解决具体问题。 (4)了解二维随机变量的函数的概念，会求两个独立随机变量的常用函数的分布，记住几个 常用分布的和函数的分布。 3.3 内容概要 1)二维随机变量的分布函数： (1) 定义：二维随机变量 ( , ) 的联合分布函数 F x y P x y ( , ) { , } 。 (2) 性质： ① F x y ( , ) 是单调不减函数: 2 1 2 1 2 1 2 1 x x y y F x y F x y F x y F x y , ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ； ② F x y ( , ) 是有界函数：0≤ F x y ( , ) ≤1，且 F(+∞，+∞)=1，F(-∞，-∞) = F(x，-∞)=F(-∞，y)=0； ③ F x y ( , ) 是右连续的：F( x+0，y)= F x y ( , ) ，F( x，y+0)= F x y ( , ) 。 ④ 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 + + x x y y F x y F x y F x y F x y , ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
2)二维随机变量的边缘分布：若二维随机变量(5，)的联合分布函数为F(x,y),则 (5,7)的边缘分布函数为 F(x)=F(x,+o)=lim F(x,y),F,(y)=F(+oy)=lim F(x,y). 3)二维离散型随机变量： 所有可能取值为有限多对或可列无穷多对的二维随机变量称为二维离散型随机变量。 (1)(5,7)的联合概率分布：P{5=x,n=y}=P(i,j=1,2,),常用表格表示为： Pu P12 X2 P21 P22 起：@A0空艺A=1 (2)(5,7)的边缘分布： P6=x}=P5=x,7<toy=2P,G=12） P7==P附9=y2U=12 (3)(5,7)的条件分布： 7=y,下5的条件概率分布 P{5=x7=y} P传=x,1=y2,1=1,2,… P(n=y} 5=x下n的条件概率分布 P初=y5=x}-P5=,n=y ，j=1,2,…。 P{5=x} 4)二维连续型随机变量 (1)定义：设二维随机变量(5，)的分布函数为F(x,y),若存在非负函数p(x,y),使对
2 2) 二维随机变量的边缘分布：若二维随机变量 ( , ) 的联合分布函数为 F x y ( , ) ，则 ( , ) 的边缘分布函数为 ( ) ( , ) lim ( , ), ( ) ( , ) lim ( , ) y x F x F x F x y F y F y F x y →+ →+ = + = = + = 。 3) 二维离散型随机变量： 所有可能取值为有限多对或可列无穷多对的二维随机变量称为二维离散型随机变量。 (1) ( , ) 的联合概率分布: { , } ( , 1,2, ) P x y p i j i j ij = = = = ，常用表格表示为： 1 2 1 11 12 2 21 22 y y x p p x p p 满足：① 0; ij p ② 1 1 1 ij i j p + + = = = 。 (2) ( , ) 的边缘分布： 1 { } { , } ( 1,2, ) i i ij j P x P x p i + = = = = + = = 1 { } { , } ( 1,2, ) j j ij i P y P y p j + = = = + = = = (3) ( , ) 的条件分布： j = y 下 的条件概率分布 { , } { } { } i j i j j P x y P x y P y = = = = = = ， i = 1，2，…； i = x 下 的条件概率分布 { , } { } { } i j j i i P x y P y x P x = = = = = = ，j = 1，2，…。 4）二维连续型随机变量 (1) 定义：设二维随机变量 ( , ) 的分布函数为 F x y ( , ) ，若存在非负函数 ( , ) x y ，使对
一切实数x,y成立 F(x.)ddy 则称(5，)为二维连续型随机变量，p(x,y)称为(5,7)的联合概率密度函数。 (2)性质： ①p(x,y)≥0： ②∫广xydk=l: ③在px)的连续点处有F》=K,) OxOy ④P(5,)∈G}=∬(x,)dd,G为xOy平面上的区域。 (3)边缘分布： p,(x)=x,y),p,0y)=x,y)d。 (4)条件分布： ①条件分布函数： n=y下5的条件分布函数为F物(xy)= axyas 9,y) =x下n的条件分布函数为FO)=ox)西 P:(x) ②条件分布密度： 7=y下5的条件概率密度为，x)=2卫 9(y) 5=x下n的条件概率密度为9O)=,2 :(x) 5)随机变量的独立性 (1)定义：若二维随机变量(5，η)的联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即 F(x,y)=F(x)F,(y) 则称5与7是相互独立的。 同样对n维随机变量(51,52，…，5m),若有
3 一切实数 x，y 成立 ( , ) ( , ) x y F x y x y dxdy − − = 则称 ( , ) 为二维连续型随机变量， ( , ) x y 称为 ( , ) 的联合概率密度函数。 (2) 性质： ① ( , ) x y ≥0； ② ( , ) 1 x y dxdy + + − − = ； ③在 ( , ) x y 的连续点处有 2 ( , ) ( , ) F x y x y x y = ④ {( , ) } ( , ) , G P G x y dxdy G = 为 xOy 平面上的区域。 (3) 边缘分布： ( ) x ( , ) x y dy + − = ， ( ) y ( , ) x y dx + − = 。 (4) 条件分布： ①条件分布函数： = y 下 的条件分布函数为 ( , ) ( ) ( ) x x y dx F x y y − = ， = x 下 的条件分布函数为 ( , ) ( ) ( ) y x y dy F y x x − = 。 ②条件分布密度： = y 下 的条件概率密度为 ( , ) ( ) ( ) x y x y y = ， = x 下 的条件概率密度为 ( , ) ( ) ( ) x y y x x = 。 5）随机变量的独立性 (1) 定义：若二维随机变量（ , ）的联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即 F x y F x F y ( , ) ( ) ( ) = 则称 与 是相互独立的。 同样对 n 维随机变量 1 2 ( , , , ) n ，若有
F)-5) 成立，则称5,52，…，5n是相互独立的。 (2)判别方法： 离散型随机变量5与？相互独立 台(x,y),P{5=x,7=y}=P{5=x}P{I=y}。 连续型随机变量5与n相互独立一p(x,y)=p:(x)p,(y) 6)随机变量函数的分布 (1)和5=5+n的分布： ①卷积公式：(5，)是连续型随机变量，其概率密度为p(x,y),则5的概率密度 p:(=)=o(x,=-x)dx=o(=-y.y)dy 当ξ与n相互独立时有 2:(=)=p:(x)o,(=-x)dx=p:(=-y)o,(y)dy ②当5与n相互独立时，有下列结论： 若5~b(n,p),n~b(n2,p),则5=5+n~b(n1+n2,p): 若~P(2),n~P(2),则5=5+n~P(2+元2)： 若5~N(4,o1),n~N(2,o),则5=5+7N(4+h2,02+o): 更一般地，若5~N(4,o2),(i=1,2,…,n)且相互独立，c(i=1,2,…,n)是常数，则 立ef-cu立ea) 也就是说，服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布。 (2)U=max{5i,52,…,5m},V=min{5,52,…,5n}的分布： 设5,52，…，5n相互独立，则随机变量U,V的分布函数分别为 E(x)=ΠE(x,F,(x)=l-Π1-F(x》 特别地，如果连续型随机变量5,52，…，5n独立同分布，5，的分布函数和概率密度分别
4 1 2 1 ( , , , ) ( ) i n n i i F x x x F x = = 成立，则称 1 2 , , , n 是相互独立的。 (2) 判别方法： 离散型随机变量 与 相互独立 ( , ), { , } { } { } i j i j i j = = = = = x y P x y P x P y 。 连续型随机变量 与 相互独立 ( , ) ( ) ( ) x y x y = 6）随机变量函数的分布 (1)和 = + 的分布： ①卷积公式： ( , ) 是连续型随机变量，其概率密度为 ( , ) x y ，则 的概率密度 ( ) ( , ) ( , ) z x z x dx z y y dy + + − − = − = − 当 与 相互独立时有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z x z x dx z y y dy + + − − = − = − ②当 与 相互独立时，有下列结论： 若 ~ ( , ), ~ ( , ) 1 2 b n p b n p ，则 ~ ( , ) 1 2 = + + b n n p ； 若 ~ ( ), ~ ( ) P P 1 2 ，则 = + + ~ ( ) P 1 2 ； 若 2 2 ~ ( , ), ~ ( , ) N N 1 1 2 2 ，则 2 2 ~ ( , ) N 1 2 1 2 = + + + ； 更一般地，若 2 ~ ( , ),( 1,2, , ) i i i N i n = 且相互独立， ( 1,2, , ) i c i n = 是常数，则 2 2 1 1 1 ~ ( , ) n n n i i i i i i i i i c N c c = = = 也就是说，服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布。 (2) U V max{ , , , }, min{ , , , } 1 2 1 2 n n = = 的分布： 设 1 2 , , , n 相互独立，则随机变量 U，V 的分布函数分别为 1 1 ( ) ( ), ( ) 1 (1 ( )) i i n n U V i i F x F x F x F x = = = = − − 特别地，如果连续型随机变量 1 2 , , , n 独立同分布， i 的分布函数和概率密度分别
设为F(x)和p(x),则 F(x)=[F(x)”,E,(x)=1-[1-F(x)]” (x)=n[F(x)]o(x).g(x)=n[1-F(x)]o(x) 3.4自测题三 一、判断题（对用“+”，错用“-”） 1.设二维随机变量(5，)的联合分布函数为F(x,y),则 F(x,y)=P{5≤x,n≤y以=1-P{5>x,n>y以。 () 2.设二维随机变量(5,7)的联合分布函数为F(xy),则 P{x<5≤x2,y<7≤2}=F(x2,2)-F(x,片) () 3.二维连续型随机变量(5,7)的边缘概率密度为p:(x),p,y),若5与7相互独立，则其联合 概率密度p(x,y)可分解为p(x,y)=(x),p,y)· () 4.设5与7的概率密度分别为p:(x),p,(y),而p(x,y)=:(x)p,(y)+f(x,y) 是随机变量(5，)的概率密度，则fx,y)之-：(x)0,)且∫fx,)dxdy=0。() 5.设随机变量5与n相互独立，它们的概率分布分别为 5-11 n-11 1 P 则P{E5=}=1。 () 6设(5，)的概率分布为 01 3 0 10 10 1 3 1 10 10 则5与n相互独立。 J
5 设为 F(x)和 ( ) x ，则 ( ) ( ) , ( ) 1 1 ( ) n n F x F x F x F x U V = = − − 1 1 ( ) ( ) ( ), ( ) 1 ( ) ( ) n n U V x n F x x x n F x x − − = = − 3.4 自测题三 一、判断题（对用“+”，错用“ − ”） 1. 设二维随机变量 ( , ) 的联合分布函数为 F x y ( , ) ，则 F x y P x y P x y ( , ) { , } 1 { , } = = − 。 （ ） 2．设二维随机变量 ( , ) 的联合分布函数为 F x y ( , ) ，则 1 2 1 2 2 2 1 1 P x x y y F x y F x y { , } ( , ) ( , ) = − 。 （ ） 3. 二维连续型随机变量 ( , ) 的边缘概率密度为 ( ), ( ) x y ，若 与 相互独立，则其联合 概率密度 ( , ) x y 可分解为 ( , ) ( ), ( ) x y x y = 。 （ ） 4．设 与 的概率密度分别为 ( ), ( ) x y ，而 ( , ) ( ) ( ) ( , ) x y x y f x y = + 是随机变量 ( , ) 的概率密度，则 f x y x y ( , ) ( ) ( ) − 且 f x y x y ( , )d d 0 + + − − = 。（ ） 5. 设随机变量 与 相互独立，它们的概率分布分别为 1 1 1 1 2 2 P − 1 1 1 1 2 2 P − 则 P{ } 1 = = 。 （ ） 6.设 ( , ) 的概率分布为 0 1 3 3 0 10 10 3 1 1 10 10 则 与 相互独立。 （ ）