习题一 1.1写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： (1)随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）： 设事件A表示：平均得分在80分以上。 (2)随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和： 设事件A表示：第一颗掷得5点： 设事件B表示：三颗骰子点数之和不超过8点。 (3)随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中取三个球： 设事件A表示：取出的三个球中最小的号码为1。 (4)随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数： 设事件A表示：至多只要投50次。 (5)随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2在分别标有号码18的八张卡片中任抽一张 (1)写出该随机试验的样本点和样本空间： (2)设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ (a)AB:(b)A+B:(⊙B:(dA-B:(⊙BC:(DB+C。 13设A、B、C是样本空间的事件，把下列事件用A、B、C表示出来： (1)A发生： (2)A不发生，但B、C至少有一个发生： (3)三个事件恰有一个发生： (4)三个事件中至少有两个发生： (5)三个事件都不发生： (6)三个事件最多有一个发生： (7)三个事件不都发生。 1.4设2={1,2,3，…，10}，A={2,3,5},B={3,5,7},C={1,3,4,7乃，求下列事件： (1)AB: (2)A(BC) 1.5设A、B是随机事件，试证：(A-B)+(B-A)=AB+AB。 1.6在11张卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意抽取7张，求其排列结果为 ability的概率。 1.7电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9中的任一个数字（但第一 位不能为0)，求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 1.8把10本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的3本书恰好放在一起的概率。 32
３２ 习题一 1.1 写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： （1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）； 设事件 A 表示：平均得分在 80 分以上。 （2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； 设事件 A 表示：第一颗掷得 5 点； 设事件 B 表示：三颗骰子点数之和不超过 8 点。 （3）随机试验：一个口袋中有 5 只球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件 A 表示：取出的三个球中最小的号码为 1。 （4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数； 设事件 A 表示：至多只要投 50 次。 （5）随机试验：将长度为 1 的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2 在分别标有号码 1~8 的八张卡片中任抽一张。 （1）写出该随机试验的样本点和样本空间； （2）设事件 A 为“抽得一张标号不大于 4 的卡片”，事件 B 为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件 C 为“抽得一张标号能被 3 整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ （a） AB ； (b) A + B ； (c) B ； (d) A − B ； (e) ； (f) B +C 。 1.3 设 、 B 、C 是样本空间的事件，把下列事件用 A 、 B 、C 表示出来： （1） 发生； （2） 不发生，但 B 、C 至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。 1.4 设 = {1,2,3, ,10}， A = {2,3,5}， B = {3,5,7}，C = {1,3,4,7} ，求下列事件： （1） A B ； （2） 。 1.5 设 、 B 是随机事件，试证： (A − B) + (B − A) = AB + A B 。 1.6 在 11 张卡片上分别写上 Probability 这 11 个字母，从中任意抽取 7 张，求其排列结果为 ability 的概率。 1.7 电话号码由 6 位数字组成，每个数字可以是 0，1，2，…，9 中的任一个数字（但第一 位不能为 0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 1.8 把 10 本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的 3 本书恰好放在一起的概率。 BC A A A A(BC) A
1.9为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛。求最强的两 个队被分在不同组内的概率。 1.10在桥牌比赛中，把52张牌任意分给东、南、西、北四家（每家13张），求北家的13 张牌中： (1)恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率。 (2)恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的概率。 111从0,1,2，…，9十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： (1)A={三个数字中既不含0，也不含5}： (2)A,={三个数字中不同时含有0和5}： (3)A,={三个数字中含有0，但不含5}。 1.12一学生宿舍有6名学生，求： (1)6个人的生日都在星期天的概率： (2)6个人的生日都不在星期天的概率： (3)6个人的生日不都在星期天的概率。 1.13将长为a的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。 1.14A、B是随机事件，已知P(A)=a,P(B)=b,P(AB)=c,求： (1)P(A+B):(2)P(AB):(3)P(AB):(4)P(A+B)。 1.15设A、B、C是事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(BC)=P(AC)=1/8, P(AB)=0,求A、B、C都不发生的概率。 1.16设A、B是随机事件，且满足P(AB)=P(AB)和P(A)=p,求P(B)。 1.17设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，己知取出的两件中至少有一件是不合 格品，问：两件都是不合格品的概率是多少？ 1.18两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是 0.02。加工出来的零件放在一起，并且己知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。 (1)求任意取出的零件是合格品的概率。 (2)如果已知任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。 33
３３ 1.9 为了减少比赛场次，把 20 个球队任意分成两组（每组 10 队）进行比赛。求最强的两 个队被分在不同组内的概率。 1.10 在桥牌比赛中，把 52 张牌任意分给东、南、西、北四家（每家 13 张），求北家的 13 张牌中： （1）恰有 5 张黑桃、4 张红心、3 张方块、1 张草花的概率。 （2）恰有大牌 A、K、Q、J 各一张，其余为小牌的概率。 1.11 从 0，1，2，…，9 十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： （1） {三个数字中既不含 0，也不含 5}； （2） A2 = {三个数字中不同时含有 0 和 5}； （3） A3 = {三个数字中含有 0，但不含 5}。 1.12 一学生宿舍有 6 名学生，求： （1）6 个人的生日都在星期天的概率； （2）6 个人的生日都不在星期天的概率； （3）6 个人的生日不都在星期天的概率。 1.13 将长为 a 的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。 1.14 、 B 是随机事件，已知 P(A) = a， P(B) = b ， P(AB) = c ，求： （1） P(A + B) ； （2） P(A B) ； （3） P(AB) ； （4） P(A + B) 。 1.15 设 、 B 、C 是事件，已知 P(A) = P(B) = P(C) = 1/ 4 ， P(BC) = P(AC) = 1/8 ， P(AB) = 0 ，求 、 B 、C 都不发生的概率。 1.16 设 、 是随机事件，且满足 P(AB) = P(A B) 和 ，求 P(B) 。 1.17 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中至少有一件是不合 格品，问：两件都是不合格品的概率是多少？ 1.18 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现废品的概率是 0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。 （1）求任意取出的零件是合格品的概率。 （2）如果已知任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。 A1 = A A A A B P(A) = p
1.19已知5%的男性和0.25%的女性患有色盲，随机选取一人，经查确定为色盲。求此人是 男性的概率（假定男性和女性各占总人数的一半）。 1.20设A、B是随机事件，且满足P(BA)=P(BA),证明事件A、B是相互独立的。 121设A、B是随机事件，且P(A)>0,P(B)>0。证明事件A、B相互独立与互不 相容不能同时成立。 1.22三人独立地破译一个密码，他们各自能译出的概率分别为a,b,c,问三人中至少 有一人能将此密码译出的概率是多少？ 1.23设A、B是随机事件，假定P(A)=0.4,而P(A+B)=0.7,令P(B)=p。 (1)p取何值时才能使A、B互不相容？ (2)p取何值时才能使A、B相互独立？ 1.24一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9， 第二台等于0.8，第三台等于0.7。求：在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的 概率。 1.25已知某篮球运动员每次投篮的命中率为0.7，求该运动员五次投篮，至少投中两次的 概率（假设各次投篮都是独立的随机事件）。 1.26某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05，对某批产品检验时，用如下方法：随机取 50个，如果发现其中的次品不多于一个，则认为该批产品是合格的。问：用这种方法认为该 批产品合格的概率是多少？ 1.27已知每支枪射击飞机时，击中飞机的概率为p=0.004,各支枪能否击中飞机是相互 独立的。求： (1)250支枪同时进行射击，飞机至少被击中一次的概率： (2)需要多少支枪同时进行射击，才能以99%以上的概率保证至少击中一次飞机？ 1.28甲、乙、丙三人相互独立地向同一飞机射击，设每个人击中飞机的概率都是0.4。如果 只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2：如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6： 如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。 34
３４ 1.19 已知 5%的男性和 0.25%的女性患有色盲，随机选取一人，经查确定为色盲。求此人是 男性的概率（假定男性和女性各占总人数的一半）。 1.20 设 、 B 是随机事件，且满足 P(B A) = P(B A) ，证明事件 、 B 是相互独立的。 1.21 设 、 B 是随机事件，且 P(A) 0 ， P(B) 0 。证明事件 、 B 相互独立与互不 相容不能同时成立。 1.22 三人独立地破译一个密码，他们各自能译出的概率分别为 a ，b ，c ，问三人中至少 有一人能将此密码译出的概率是多少？ 1.23 设 、 B 是随机事件，假定 P(A) = 0.4 ，而 P(A + B) = 0.7 ，令 P(B) = p 。 （1） p 取何值时才能使 、 B 互不相容？ （2） p 取何值时才能使 、 B 相互独立？ 1.24 一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于 0.9， 第二台等于 0.8，第三台等于 0.7。求：在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的 概率。 1.25 已知某篮球运动员每次投篮的命中率为 0.7，求该运动员五次投篮，至少投中两次的 概率（假设各次投篮都是独立的随机事件）。 1.26 某工厂生产过程中出现次品的概率为 0.05，对某批产品检验时，用如下方法：随机取 50 个，如果发现其中的次品不多于一个，则认为该批产品是合格的。问：用这种方法认为该 批产品合格的概率是多少？ 1.27 已知每支枪射击飞机时，击中飞机的概率为 p = 0.004 ，各支枪能否击中飞机是相互 独立的。求： （1）250 支枪同时进行射击，飞机至少被击中一次的概率； （2）需要多少支枪同时进行射击，才能以 99%以上的概率保证至少击中一次飞机？ 1.28 甲、乙、丙三人相互独立地向同一飞机射击，设每个人击中飞机的概率都是 0.4。如果 只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6； 如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。 A A A A A A A
习题解答 习题一 1.1(1)样本空间可以表示为2={01,2,3，…，100}：事件A={81,82,…,100}。 (2)样本空间可以表示为2={3,4,5，…，18}：事件A={7,8,…,17},B={3,4,…,8}。 (3)样本空间可以表示为2={1,2,3)，(1,2,4)，(，1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)， (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}:事件A={1,2.3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。 (4)样本空间可以表示为2={10,11,12，}：事件A={10,11,12,…,50}。 (5)样本空间可以表示为2={(x,y,x+y+二=1，x>0,y>0,z>0}。 1.2(1)设样本点0，表示“抽到i号卡片”(i=1,2,…,8),样本空间可以表示为 2={01,02,…,0g}: (2)AB={02,⊙，}表示“抽到标号不大于4且是偶数的卡片”： A+B={01,⊙2，@3，⊙4，⊙6,0g}表示“抽到标号不大于4或者是偶数的卡片”： B={01,03,0,0,}表示“抽到标号是奇数的卡片”： A-B=AB={⊙，⊙3}表示“抽到标号不大于4而且是奇数的卡片”： BC={@1,02,0,04,0,01,0s}表示“抽到标号不能同时既是偶数又能被3整除 (即标号不是6的倍数)的卡片”： B+C=BC={@1,0,07}表示“抽到标号是奇数而且不能能被3整除的卡片”。 1.3(1)A: (2)A(BC+BC+BC)A(B+C): (3)ABC+ABC+ABC: 35
３５ 习题解答 习题一 1.1（1）样本空间可以表示为 ；事件 A = {81,82, ,100} 。 （2）样本空间可以表示为 ；事件 A = {7,8, ,17}，B = {3,4, ,8}。 （3）样本空间可以表示为 = {(1,2,3),(1,2,4),(,1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4), (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)} ；事件 A = {(1,2.3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。 （4）样本空间可以表示为 = {10,11,12, } ；事件 A = {10,11,12, ,50}。 （5）样本空间可以表示为 ={(x, y,z) x + y + z =1, x 0, y 0,z 0}。 1.2 （1）设样本点 i 表示“抽到 i 号卡片”( i = 1, 2, ,8 )，样本空间可以表示为 { , , , } = 1 2 8 ； （2） { , } AB = 2 4 表示“抽到标号不大于 4 且是偶数的卡片”； { , , , , , } A+ B = 1 2 3 4 6 8 表示“抽到标号不大于 4 或者是偶数的卡片”； { , , , } B = 1 3 5 7 表示“抽到标号是奇数的卡片”； { , } A − B = AB = 1 3 表示“抽到标号不大于 4 而且是奇数的卡片”； { , , , , , , } BC = 1 2 3 4 5 7 8 表示“抽到标号不能同时既是偶数又能被 3 整除 （即标号不是 6 的倍数）的卡片”； { , , } B +C = B C = 1 5 7 表示“抽到标号是奇数而且不能能被 3 整除的卡片”。 1.3（1） ； （2） A(BC + BC + BC) 或 A(B +C) ； （3） A B C + A B C + A B C ； = {0，1,2,3, ,100} = {3,4,5, ,18} A
(4)ABCABCABC+ABCAB+AC+BC: (5)ABC或A+B+C: (6)ABC+ABC+ABC+ABC BC+AC+AB: (7)ABC或A+B+C。 1.4(1)AB=A+B={2,3,5,7: (2)A(BC)=A+BC={1,3,4,6,7,89,10}. 1.5由事件差的定义、德摩根定律及分配律可知： (A-B)+(B-A)=AB+BA=(A+B(B+A) =AB+AA+BB+BA=AB+AB。 1.6在11张卡片中任意抽7张，依次排成一列，有P1种不同的方法。 要得到ability,每次取一张卡片，如果取卡时，这种字母的卡片只有1张，则只有1种 取法，如果取卡时，这种字母的卡片有2张，则有2种取法。所以， P{连抽7张，排列结果为abiy}=1x2×2×1x1x1x1。 1 P☑ 415800 1.7由6位数字组成的首位不能为0的有重复的排列（作为电话号码）共有9×10种，其 中满足条件的（电话号码是由完全不相同的数字组成）的有9×9×8×7×6×5种。 所以，所求概率为： P(满足条件的电话号码}=9×9×8×7×6x5_9×8×7x6×5】 9×105 105 =0.1512。 1.810本不同的书任意在书架上放成一排，排法的总数为P0=10!。 为了使指定的3本书放在一起，我们可以想象把这三本书“捆绑”在一起作为一个整体 看待，于是10本书就变成了8个物体，8个物体的排法总数有P8=8!种：但这3本书还可 以有P=3!种排法，所以，满足条件的排法共有8！×3！种。 因此，所求概率 36
３６ （4） ABC + ABC + ABC + ABC 或 AB+ AC+ BC ； （5） A B C 或 A+ B +C ； （6） A B C + A B C + A B C + A B C 或 B C + A C + A B ； （7） ABC 或 A + B + C 。 1.4（1） A B = A+ B ={2,3,5,7} ； （2） A(BC) = A + BC = {1,3,4,6,7,8,9,10}。 1.5 由事件差的定义、德摩根定律及分配律可知： (A− B) + (B − A) = AB + BA = (A + B)(B + A) = A B + AA+ BB + BA = AB + A B 。 1.6 在 11 张卡片中任意抽 7 张，依次排成一列，有 7 P11 种不同的方法。 要得到 ability，每次取一张卡片，如果取卡时，这种字母的卡片只有 1 张，则只有 1 种 取法，如果取卡时，这种字母的卡片有 2 张，则有 2 种取法。所以， P {连抽 7 张，排列结果为 ability}= 415800 1 2 2 1 1 1 1 1 7 11 = P 。 1.7 由 6 位数字组成的首位不能为 0 的有重复的排列（作为电话号码）共有 5 910 种，其 中满足条件的（电话号码是由完全不相同的数字组成）的有 998765 种。 所以，所求概率为： P {满足条件的电话号码} 0.1512 10 9 8 7 6 5 9 10 9 9 8 7 6 5 5 5 = = = 。 1.8 10 本不同的书任意在书架上放成一排，排法的总数为 10! 10 P10 = 。 为了使指定的 3 本书放在一起，我们可以想象把这三本书“捆绑”在一起作为一个整体 看待，于是 10 本书就变成了 8 个物体，8 个物体的排法总数有 8! 8 P8 = 种；但这 3 本书还可 以有 3! 3 P3 = 种排法，所以，满足条件的排法共有 8 ! 3! 种。 因此，所求概率